Resolva o problema de valor inicial abaixo, encontrando o intervalo máximo de definição da solução:

Passo 1

Beleza, temos um problema de valor inicial onde a gente precisa resolver a equação diferencial:
Isso pertence à matéria de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial na forma padrão de uma equação linear:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver para e aplicar a condição inicial :
Multiplicando ambos os lados por :
Aplicando e :
Portanto, a solução da equação é:

Resposta

A solução do problema é , válida para todo .

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Encontre a solução geral em forma implícita para a equação diferencial
Determine o interval máximo de definição das soluções dadas abaixo:
, solução do PVI
Dê o domínio da funcão .