Resolva o problema de valor inicial abaixo, encontrando o intervalo máximo de definição da solução:
Passo 1
Beleza, temos um problema de valor inicial onde a gente precisa resolver a equação diferencial:
Isso pertence à matéria de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial na forma padrão de uma equação linear:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver para
e aplicar a condição inicial
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Aplicando
e
:
Portanto, a solução da equação é:
Resposta
A solução do problema é
, válida para todo
.
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Encontre a solução geral em forma implícita para a equação diferencial
Determine o interval máximo de definição das soluções dadas abaixo:
, solução do PVI
Dê o domínio da funcão
.