Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
sumn=1^infty (-1)^nn^3(x-1)^n;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o intervalo de convergência da série de potências dada:
sumn=1^infty (-1)^nn^3(x-1)^n
Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de séries de potências na matemática. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão para descobrir até onde a série converge, ou seja, qual é o intervalo onde a série dá certo. Também vamos encontrar o raio de convergência, que indica a distância do centro da série até os pontos onde ela para de convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que é uma técnica usada para determinar o intervalo de convergência de séries de potências. Esse teste nos ajuda a encontrar um valor limite que, se satisfeito, garante a convergência da série.
O Teste da Razão é dado por:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar o an = (-1)^nn^3(x-1)^n na nossa série:
an+1an = (-1)^n+1(n+1)^3(x-1)^n+1 (-1)^nn^3(x-1)^n = -1 (1 + 1n)^3 (x-1)
Agora, vamos calcular | an+1an | = 1 (1 + 1n)^3 |x-1| :
Tomando o valor absoluto:

Passo 4

Vamos calcular o limite quando L = limn to infty 1 (1 + 1n)^3 |x-1| = 1 cdot |x-1| = |x-1| tende ao infinito:
|x-1| < 1
Para que a série converja, precisamos que :

Passo 5

Essa inequação nos dá o intervalo de convergência. Vamos resolver:
-1 < x - 1 < 1
Somando 1 em todos os lados:
0 < x < 2
Então, o intervalo de convergência é de a .

Passo 6

O raio de convergência R = 2 - 02 = 1 é metade da largura do intervalo de convergência. Nesse caso:

Resposta

O intervalo de convergência da série é e o raio de convergência é .

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