Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência. ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o intervalo de convergência da série de potências dada:
Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de séries de potências na matemática. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão para descobrir até onde a série converge, ou seja, qual é o intervalo onde a série dá certo. Também vamos encontrar o raio de convergência, que indica a distância do centro da série até os pontos onde ela para de convergir.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que é uma técnica usada para determinar o intervalo de convergência de séries de potências. Esse teste nos ajuda a encontrar um valor limite que, se satisfeito, garante a convergência da série.
O Teste da Razão é dado por:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos identificar o na nossa série:
Agora, vamos calcular :
Tomando o valor absoluto:
Passo 4
Vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Para que a série converja, precisamos que :
Passo 5
Essa inequação nos dá o intervalo de convergência. Vamos resolver:
Somando 1 em todos os lados:
Então, o intervalo de convergência é de a .
Passo 6
O raio de convergência é metade da largura do intervalo de convergência. Nesse caso:
Resposta
O intervalo de convergência da série é e o raio de convergência é .