Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo: sumn=0^infty n^24^n(x-4)^2 n

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo: precisamos encontrar o intervalo máximo de convergência da série de potências dada. Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série:
an = n^24^n(x-4)^2n
Nosso objetivo é aplicar o Teste da Razão, que envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 3

Aplicamos o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an |
Substituindo L = limn to infty | (n+1)^24^n+1(x-4)^2(n+1) cdot 4^nn^2(x-4)^-2n | e :

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro do limite:
L = limn to infty | (n+1)^24 cdot n^2(x-4)^2 | = 14 |x-4|^2 cdot limn to infty (1 + 1n)^2
Como L = 14 |x-4|^2 , temos:

Passo 5

Para que a série convirja, precisamos que 14 |x-4|^2 < 1 :
|x-4|^2 < 4
Multiplicando ambos os lados por 4:
|x-4| < 2
Tirando a raiz quadrada:

Passo 6

A desigualdade 4 - 2 < x < 4 + 2 implies 2 < x < 6 significa que:

Resposta

O intervalo máximo de convergência da série é .

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