Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(k) sumn=1^+infty(-1)^n x^3 nn^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir o intervalo e o raio de convergência da série de potências . Isso envolve entender sobre convergência de séries e usar alguns testes de convergência para séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a série. Temos . Isso é uma série de potências onde cada termo depende de . Para encontrar o raio de convergência, usamos o Teste da Raiz ou o Teste da Razão. Vou optar pelo Teste da Raiz aqui.

Passo 3

O Teste da Raiz diz que para uma série raiz[n]|an| = raiz[n]|x|^3nn^3/2 = |x|^3n^3/(2n) , a série converge se o limite for menor que 1. Vamos aplicar isso na nossa série.
Aqui, . Então, .
Calculando a raiz -ésima:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty |x|^3n^3/(2n) = |x|^3 times limn to infty n^-3/(2n) tende ao infinito:
limn to infty n^-3/(2n) = 1
Sabemos que limn to infty raiz[n]|an| = |x|^3 , então:
Portanto:

Passo 5

Segundo o Teste da Raiz, para a série convergir, precisamos que:
|x|^3 < 1
Resolvendo essa desigualdade:
|x| < 1
Isso nos dá o raio de convergência . O intervalo de convergência inicialmente é .

Passo 6

Agora, vamos verificar os extremos do intervalo, ou seja, sumn=1^+infty(-1)^n 1^3nn^3/2 = sumn=1^+infty (-1)^nn^3/2 e sumn=1^+infty(-1)^n (-1)^3nn^3/2 = sumn=1^+infty (-1)^n cdot (-1)^3nn^3/2 = sumn=1^+infty (-1)^4nn^3/2 = sumn=1^+infty 1n^3/2 .
  • Para :
Essa é uma série alternada com termos decrescentes e limitação a zero, então converge pelo Teste da Série Alternada.
  • Para :
Aqui, temos uma p-série com , que também converge.

Resposta

O intervalo de convergência é e o raio de convergência é .

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Para quais valores de a e b a reta 3x + y = b é tangente à parábola y = a x^2 quando x = 3 / 2.
(a) a=-1, b=9/4.
(b) a = 1, b = 9 / 2.
© a = -1, b = -9/4.
(d) a = 1, b = -9 / 2.
O valor de lim x 0 raiz9-x-raiz9+xx^2+x é:
(a) -13.
(b) -3 .
© -12.
(d) -1
Seja f(x) = 3 - 2x / (x^2 - 1). O valor de f'(0) é:
(a) f'(0) = 2. (b) f'(0) = 1/2. © f'(0) = 1.
(d) f'(0) = 1.
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(d) sumn=1^+infty n^25^n(x-1)^n