Para quais valores de
e
a reta
é tangente à parábola
quando
.
(a)
.
(b)
.
©
.
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir para quais valores de
e
a reta
é tangente à parábola
no ponto onde
. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas e parábolas, e a condição de tangência entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a reta ser tangente à parábola em um ponto específico. Isso quer dizer que as duas curvas se tocam exatamente em um ponto, sem se cruzarem. Para isso acontecer, a equação que resulta da igualdade das duas funções deve ter uma única solução.
Passo 3
Vamos começar igualando as equações da reta e da parábola para encontrar o ponto de tangência:
Substituindo
da reta na parábola:
Isso nos dá uma equação quadrática:
Passo 4
Para que a reta seja tangente à parábola, essa equação quadrática deve ter exatamente uma solução. Isso acontece quando o discriminante (
) é igual a zero. O discriminante é calculado por:
Onde
,
e
. Então:
Para tangência:
Passo 5
Sabemos que o ponto de tangência ocorre em
. Vamos usar esse valor para encontrar
tanto na parábola quanto na reta.
Na parábola:
Na reta:
Como são o mesmo ponto:
Vamos resolver para
:
Passo 6
Agora temos duas equações:
Vamos substituir a segunda na primeira:
Distribuindo
:
Multiplicando tudo por 4 para eliminar os denominadores:
Levando tudo para um lado da equação:
Dividindo por 9:
Isso resulta em:
Passo 7
Com
, vamos encontrar
usando a equação que obtivemos:
Resposta
A reta
é tangente à parábola
no ponto
quando
e
. Portanto, a opção correta é a (a)
.
Exercícios relacionados
O valor de
é:
(a) .
(b) -3 .
© .
(d) -1
(a)
(b) -3 .
©
(d) -1
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(k)
(k)
Seja
. O valor de
é:
(a) . (b)
. ©
.
(d) .
(a)
(d)