Determine os intervalos abertos nos quais o gráfico é côncavo para cima e aqueles nos quais ele é côncavo para baixo. Encontre também os os pontos de inflexão do gráfico da função

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir onde o gráfico da função é côncavo para cima e para baixo, além de encontrar os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a segunda derivada da função, que nos ajuda a entender a concavidade do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da tangente em cada ponto da curva.
A função pode ser reescrita como .
Usando a regra da potência e a regra da cadeia, a primeira derivada é:

Passo 3

Agora, vamos achar a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada . A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade do gráfico.
Começamos com:
Vamos aplicar a regra do quociente para derivar essa expressão. Seja e .
A derivada de será:
Calculamos e :
Substituindo na fórmula:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda derivada para determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo.
Primeiro, observamos o denominador , que é sempre positivo, já que para qualquer valor real de .
Portanto, o sinal da segunda derivada depende apenas do numerador .
Vamos resolver :

Passo 5

Agora, vamos dividir a linha dos números em intervalos baseados nos valores de e para testar o sinal de em cada intervalo.
  1. Para :
    • Escolha : ô
  2. Para :
    • Escolha : ô
  3. Para :
    • Escolha : ô

Passo 6

Os pontos onde a concavidade muda são chamados de pontos de inflexão. Já identificamos que essas mudanças ocorrem em e .
Vamos encontrar as coordenadas desses pontos substituindo na função original.
  1. Para :
    Então, o ponto de inflexão é .
  2. Para :
    Segue o mesmo cálculo, já que a função é par (simétrica em relação ao eixo y):
    Então, o ponto de inflexão é .

Resposta

O gráfico da função é côncavo para cima nos intervalos e , e côncavo para baixo no intervalo . Além disso, os pontos de inflexão são e .

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  1. .
(b) Confirme sua resposta da parte (a) fazendo o gráfico da função.
Determine os pontos de inflexão do gráfico de
Determine os intervalos abertos nos quais o gráfico é côncavo para cima e aqueles nos quais ele é côncavo para baixo. Encontre também os os pontos de inflexão do gráfico da função