Determine os intervalos abertos nos quais o gráfico é côncavo para cima e aqueles nos quais ele é côncavo para baixo. Encontre também os os pontos de inflexão do gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir onde o gráfico da função
é côncavo para cima e para baixo, além de encontrar os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a segunda derivada da função, que nos ajuda a entender a concavidade do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da tangente em cada ponto da curva.
A função pode ser reescrita como
.
Usando a regra da potência e a regra da cadeia, a primeira derivada é:
Passo 3
Agora, vamos achar a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada
. A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade do gráfico.
Começamos com:
Vamos aplicar a regra do quociente para derivar essa expressão. Seja
e
.
A derivada de
será:
Calculamos
e
:
Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda derivada
para determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo.
Primeiro, observamos o denominador
, que é sempre positivo, já que
para qualquer valor real de
.
Portanto, o sinal da segunda derivada depende apenas do numerador
.
Vamos resolver
:
Passo 5
Agora, vamos dividir a linha dos números em intervalos baseados nos valores de
e
para testar o sinal de
em cada intervalo.
-
Para
: - Escolha
:
- Escolha
-
Para
: - Escolha
:
- Escolha
-
Para
: - Escolha
:
- Escolha
Passo 6
Os pontos onde a concavidade muda são chamados de pontos de inflexão. Já identificamos que essas mudanças ocorrem em
e
.
Vamos encontrar as coordenadas desses pontos substituindo
na função original.
-
Para
: Então, o ponto de inflexão é. -
Para
:
Segue o mesmo cálculo, já que a função é par (simétrica em relação ao eixo y):Então, o ponto de inflexão é.
Resposta
O gráfico da função
é côncavo para cima nos intervalos
e
, e côncavo para baixo no intervalo
. Além disso, os pontos de inflexão são
e
.
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-
.
(b) Confirme sua resposta da parte (a) fazendo o gráfico da função.
Determine os pontos de inflexão do gráfico de
Determine os intervalos abertos nos quais o gráfico é côncavo para cima e aqueles nos quais ele é côncavo para baixo. Encontre também os os pontos de inflexão do gráfico da função