Determine os intervalos abertos nos quais o gráfico é côncavo para cima e aqueles nos quais ele é côncavo para baixo. Encontre também os os pontos de inflexão do gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a concavidade do gráfico da função
. Isso faz parte do estudo de Cálculo, mais especificamente do tópico de concavidade e pontos de inflexão das funções. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular a segunda derivada da função, pois ela nos ajuda a determinar onde o gráfico está concavo para cima ou para baixo, e onde ocorrem os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada vai nos dar a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da tangente em cada ponto.
A fórmula para derivar uma função do tipo
é:
Onde
e
.
Vamos calcular
e
:
Agora, aplicando a fórmula da derivada:
Simplificando o numerador:
Passo 3
Agora que temos a primeira derivada, vamos encontrar a segunda derivada
. A segunda derivada nos ajuda a determinar a concavidade da função.
Para derivar
, podemos usar a regra do quociente novamente:
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
Agora, substituindo na fórmula:
Podemos simplificar cancelando um fator de
:
Simplificando o numerador:
Passo 4
Agora que temos a segunda derivada
, vamos determinar onde ela é positiva ou negativa, pois isso nos indica a concavidade do gráfico.
- Quando
: O gráfico é concavo para cima. - Quando
: O gráfico é concavo para baixo.
Vamos analisar o sinal de
:
O denominador
depende do sinal de
:
- Se
, ou seja, , então . - Se
, ou seja, , então .
O numerador
pode ser fatorado se possível, mas vamos analisar seu sinal.
Note que
é sempre negativo, pois o termo dominante
domina para qualquer
.
Então:
-
Para
: - Numerador negativo.
- Denominador positivo.
-
⇒ Concavo para baixo.
-
Para
: - Numerador negativo.
- Denominador negativo.
-
⇒ Concavo para cima.
Passo 5
Agora, vamos identificar os pontos de inflexão. Os pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade do gráfico muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Isso acontece onde
ou onde
não está definida.
Vamos resolver
:
Isso é igual a zero quando o numerador é zero:
Dividindo toda a equação por -2 para simplificar:
Agora, vamos calcular o discriminante
:
Como o discriminante é negativo, não há raízes reais para essa equação. Isso significa que
nunca é zero.
Além disso,
não está definida quando o denominador é zero, ou seja, quando
, ou seja,
.
Portanto, o único ponto a considerar é
.
Passo 6
Vamos verificar a continuidade da função
em
para confirmar se é realmente um ponto de inflexão.
Substituindo
na função
:
Como estamos dividindo por zero, a função não está definida em
. Portanto, não há ponto de inflexão nesse ponto, apenas uma descontinuidade.
Resposta
O gráfico da função
é concavo para cima no intervalo aberto
e concavo para baixo no intervalo aberto
. Não há pontos de inflexão no gráfico.
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tais que a função abaixo seja contínua em toda a reta real:
Exercício 8. Calcule
nos seguintes casos:
(b) ;
(b)