Determine os intervalos abertos nos quais o gráfico é côncavo para cima e aqueles nos quais ele é côncavo para baixo. Encontre também os os pontos de inflexão do gráfico da função

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a concavidade do gráfico da função . Isso faz parte do estudo de Cálculo, mais especificamente do tópico de concavidade e pontos de inflexão das funções. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular a segunda derivada da função, pois ela nos ajuda a determinar onde o gráfico está concavo para cima ou para baixo, e onde ocorrem os pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada vai nos dar a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da tangente em cada ponto.
A fórmula para derivar uma função do tipo é:
Onde e .
Vamos calcular e :
Agora, aplicando a fórmula da derivada:
Simplificando o numerador:

Passo 3

Agora que temos a primeira derivada, vamos encontrar a segunda derivada . A segunda derivada nos ajuda a determinar a concavidade da função.
Para derivar , podemos usar a regra do quociente novamente:
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
Agora, substituindo na fórmula:
Podemos simplificar cancelando um fator de :
Simplificando o numerador:

Passo 4

Agora que temos a segunda derivada , vamos determinar onde ela é positiva ou negativa, pois isso nos indica a concavidade do gráfico.
  • Quando : O gráfico é concavo para cima.
  • Quando : O gráfico é concavo para baixo.
Vamos analisar o sinal de :
O denominador depende do sinal de :
  • Se , ou seja, , então .
  • Se , ou seja, , então .
O numerador pode ser fatorado se possível, mas vamos analisar seu sinal.
Note que é sempre negativo, pois o termo dominante domina para qualquer .
Então:
  • Para :
    • Numerador negativo.
    • Denominador positivo.
    • ⇒ Concavo para baixo.
  • Para :
    • Numerador negativo.
    • Denominador negativo.
    • ⇒ Concavo para cima.

Passo 5

Agora, vamos identificar os pontos de inflexão. Os pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade do gráfico muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Isso acontece onde ou onde não está definida.
Vamos resolver :
Isso é igual a zero quando o numerador é zero:
Dividindo toda a equação por -2 para simplificar:
Agora, vamos calcular o discriminante :
Como o discriminante é negativo, não há raízes reais para essa equação. Isso significa que nunca é zero.
Além disso, não está definida quando o denominador é zero, ou seja, quando , ou seja, .
Portanto, o único ponto a considerar é .

Passo 6

Vamos verificar a continuidade da função em para confirmar se é realmente um ponto de inflexão.
Substituindo na função :
Como estamos dividindo por zero, a função não está definida em . Portanto, não há ponto de inflexão nesse ponto, apenas uma descontinuidade.

Resposta

O gráfico da função é concavo para cima no intervalo aberto e concavo para baixo no intervalo aberto . Não há pontos de inflexão no gráfico.

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(b) ;