Determine os pontos de inflexão do gráfico de y = (x - 1)^(3) * (x - 5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou o exercício de encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas. Para resolver, vamos precisar calcular a segunda derivada dessa função e descobrir onde ela muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . Usamos a regra do produto para derivar:
Calculando as derivadas individuais:
Então:
Podemos simplificar mais:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada para identificar os pontos de inflexão. Derivamos novamente :
Aplicando a regra do produto:
Calculando as derivadas individuais:
Então:
Fatorando :

Passo 4

Os pontos de inflexão ocorrem onde a segunda derivada é zero ou indefinida e muda de sinal. Então, vamos resolver :
Isso nos dá duas soluções:

Passo 5

Agora, vamos verificar se realmente há mudança de concavidade nesses pontos. Observando a segunda derivada :
  • Para : Ambos e são negativos, então (concavidade para cima).
  • Para : é positivo e é negativo, então (concavidade para baixo).
  • Para : Ambos e são positivos, então (concavidade para cima).
Isso confirma que há uma mudança de concavidade em e , indicando pontos de inflexão.

Passo 6

Por fim, vamos encontrar as coordenadas desses pontos substituindo na função original :
  • Para :
Então, o ponto é .
  • Para :
Então, o ponto é .

Resposta

Os pontos de inflexão do gráfico são e .

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