Determine os pontos de inflexão do gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou o exercício de encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas. Para resolver, vamos precisar calcular a segunda derivada dessa função e descobrir onde ela muda de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. Usamos a regra do produto para derivar:
Calculando as derivadas individuais:
Então:
Podemos simplificar mais:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
para identificar os pontos de inflexão. Derivamos novamente
:
Aplicando a regra do produto:
Calculando as derivadas individuais:
Então:
Fatorando
:
Passo 4
Os pontos de inflexão ocorrem onde a segunda derivada é zero ou indefinida e muda de sinal. Então, vamos resolver
:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 5
Agora, vamos verificar se realmente há mudança de concavidade nesses pontos. Observando a segunda derivada
:
- Para
: Ambos e são negativos, então (concavidade para cima). - Para
: é positivo e é negativo, então (concavidade para baixo). - Para
: Ambos e são positivos, então (concavidade para cima).
Isso confirma que há uma mudança de concavidade em
e
, indicando pontos de inflexão.
Passo 6
Por fim, vamos encontrar as coordenadas desses pontos substituindo
na função original
:
- Para
:
Então, o ponto é
.
- Para
:
Então, o ponto é
.
Resposta
Os pontos de inflexão do gráfico são
e
.
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-
.
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