Determine os intervalos de convergência das séries abaixo:
a) sum x^nn^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de séries matemáticas! A questão pede para determinar os intervalos de convergência da série sum x^nn^2. Isso está na área de séries de potências, onde a gente precisa descobrir para quais valores de x a série converge. Para isso, vamos usar o teste da razão, que nos ajuda a analisar o comportamento dos termos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o teste da razão. Esse teste nos diz que, para uma série da forma sum an, calculamos o limite limn to infty | an+1an |. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.

Passo 3

No nosso caso, a série é sum x^nn^2, então o termo geral é an = x^nn^2. Vamos aplicar o teste da razão:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | x^n+1(n+1)^2x^nn^2 |

Passo 4

Simplificando a expressão dentro do limite:
| x^n+1 cdot n^2x^n cdot (n+1)^2 | = | x cdot n^2(n+1)^2 |

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite:
limn to infty | x cdot n^2(n+1)^2 | = |x| cdot limn to infty n^2n^2 + 2n + 1 = |x| cdot 1 = |x|

Passo 6

De acordo com o teste da razão, a série converge quando esse limite é menor que 1:
|x| < 1
E diverge quando:
|x| > 1
Quando |x| = 1, precisamos analisar separadamente.

Passo 7

Vamos testar x = 1:
sum 1^nn^2 = sum 1n^2
Essa é a famosa série de Basel, que sabemos que converge para pi^26. Então, x = 1 está incluído.
Agora, vamos testar x = -1:
sum (-1)^nn^2
Essa é uma série alternada, e sabemos que séries alternadas com termos decrescentes e tendendo a zero também convergem. Portanto, x = -1 também está incluído.

Resposta

O intervalo de convergência da série sum x^nn^2 é -1 <= x <= 1.

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