Determine os intervalos no qual as curvas dadas pelas expressões abaixo têm concavidade voltada para cima ou para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir em quais intervalos a curva da função
está com a concavidade voltada pra cima ou pra baixo. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente da análise de funções usando derivadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da função, porque ela nos dirá se a concavidade está pra cima ou pra baixo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é concavidade. Se a segunda derivada de uma função
for positiva em um intervalo, a concavidade da curva nesse intervalo está voltada para cima. Se for negativa, está voltada para baixo. Então, nosso objetivo é calcular
e analisar onde ela é positiva ou negativa.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada da função
. Para isso, usamos a regra do produto, que diz que se tivermos duas funções multiplicando,
, a derivada será
.
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
a partir da primeira derivada que encontramos:
Para derivar isso, novamente usamos a regra do produto. Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Agora que temos
, vamos analisar onde essa segunda derivada é positiva ou negativa.
Sabemos que
é sempre positivo para qualquer valor de
. Então, o sinal de
depende apenas do termo
.
Vamos resolver
e
:
-
=> -
=>
Passo 6
Interpretando esses resultados:
- Quando
, . Então, a concavidade está voltada para cima nesse intervalo. - Quando
, . Assim, a concavidade está voltada para baixo nesse intervalo.
Resposta
A função
tem concavidade voltada para cima quando
e concavidade voltada para baixo quando
.
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para
. Considere a densidade sendo igual a uma constante
. Calcular: b) o centro de massa.
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tal que
Determine dois números positivos
e
com produto
e cuja soma seja a menor possível.