Determine os intervalos no qual as curvas dadas pelas expressões abaixo têm concavidade voltada para cima ou para baixo. y = x * e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir em quais intervalos a curva da função está com a concavidade voltada pra cima ou pra baixo. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente da análise de funções usando derivadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da função, porque ela nos dirá se a concavidade está pra cima ou pra baixo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é concavidade. Se a segunda derivada de uma função for positiva em um intervalo, a concavidade da curva nesse intervalo está voltada para cima. Se for negativa, está voltada para baixo. Então, nosso objetivo é calcular e analisar onde ela é positiva ou negativa.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada da função . Para isso, usamos a regra do produto, que diz que se tivermos duas funções multiplicando, , a derivada será .
Aqui, e .
Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada a partir da primeira derivada que encontramos:
Para derivar isso, novamente usamos a regra do produto. Aqui, e .
Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do produto:

Passo 5

Agora que temos , vamos analisar onde essa segunda derivada é positiva ou negativa.
Sabemos que é sempre positivo para qualquer valor de . Então, o sinal de depende apenas do termo .
Vamos resolver e :
  • =>
  • =>

Passo 6

Interpretando esses resultados:
  • Quando , . Então, a concavidade está voltada para cima nesse intervalo.
  • Quando , . Assim, a concavidade está voltada para baixo nesse intervalo.

Resposta

A função tem concavidade voltada para cima quando e concavidade voltada para baixo quando .

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