Para cada um dos casos abaixo, encontre pelo menos um valor de c em (a, b) tal que
f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)
f(x) = x^(2/3), com a = 0 e b = 1

Passo 1

Então, a gente tem uma função e queremos encontrar um valor no intervalo que satisfaça a equação da média:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio, que nos garante que existe pelo menos um ponto onde a derivada da função é igual à taxa média de variação no intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular e :
Então,

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada da função . Usando as regras de derivação, temos:

Passo 4

Aplicando o Teorema do Valor Médio, queremos encontrar tal que:
Substituindo a derivada que encontramos:

Passo 5

Vamos resolver para :
Multiplicando os dois lados por :
Dividindo por 3:
Elevando ambos os lados ao cubo para isolar :

Resposta

Um valor de que satisfaz a condição é .

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