Para cada um dos casos abaixo, encontre pelo menos um valor de
tal que
, com
e
Passo 1
Então, a gente tem uma função
e queremos encontrar um valor
no intervalo
que satisfaça a equação da média:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio, que nos garante que existe pelo menos um ponto
onde a derivada da função é igual à taxa média de variação no intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
e
:
Então,
Passo 3
Agora, precisamos achar a derivada da função
. Usando as regras de derivação, temos:
Passo 4
Aplicando o Teorema do Valor Médio, queremos encontrar
tal que:
Substituindo a derivada que encontramos:
Passo 5
Vamos resolver para
:
Multiplicando os dois lados por
:
Dividindo por 3:
Elevando ambos os lados ao cubo para isolar
:
Resposta
Um valor de
que satisfaz a condição é
.
Exercícios relacionados
Determine os intervalos no qual as curvas dadas pelas expressões abaixo têm concavidade voltada para cima ou para baixo.
Determine os pontos de inflexão das curvas abaixos.
Determine dois números positivos
e
com produto
e cuja soma seja a menor possível.
Considere
definida por
. Usando o Teorema da Função Inversa, obtenha a derivada a função
.