Determine dois números positivos
e
com produto
e cuja soma seja a menor possível.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Precisamos encontrar dois números positivos
e
que, ao serem multiplicados, resultem em um produto fixo
. Além disso, queremos que a soma desses dois números
seja a menor possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização e cálculo.
Passo 2
Primeiro, como sabemos que
e
precisam multiplicar para dar
, podemos expressar uma variável em função da outra. Vamos resolver para
:
Passo 3
Agora, queremos minimizar a soma
. Substituímos
na expressão da soma:
Passo 4
Para encontrar o valor mínimo de
, vamos derivar essa expressão em relação a
e igualar a derivada a zero. Isso nos ajudará a encontrar o ponto onde a soma é mínima.
Igualando a derivada a zero:
Passo 5
Resolvendo a equação para
:
Como
e
são positivos, consideramos apenas a raiz positiva.
Passo 6
Agora que sabemos que
, podemos encontrar
usando a relação
:
Resposta
Os dois números positivos que satisfazem as condições são
e
.
Exercícios relacionados
Para cada um dos casos abaixo, encontre pelo menos um valor de
tal que
Determine os intervalos no qual as curvas dadas pelas expressões abaixo têm concavidade voltada para cima ou para baixo.
Considere
definida por
. Usando o Teorema da Função Inversa, obtenha a derivada a função
.
Calcule os limites da forma: