Determine dois números positivos
e
com produto
e cuja soma seja a menor possível.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Precisamos encontrar dois números positivos
e
que, ao serem multiplicados, resultem em um produto fixo
. Além disso, queremos que a soma desses dois números
seja a menor possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização e cálculo.
Passo 2
Primeiro, como sabemos que
e
precisam multiplicar para dar
, podemos expressar uma variável em função da outra. Vamos resolver para
:
Passo 3
Agora, queremos minimizar a soma
. Substituímos
na expressão da soma:
Passo 4
Para encontrar o valor mínimo de
, vamos derivar essa expressão em relação a
e igualar a derivada a zero. Isso nos ajudará a encontrar o ponto onde a soma é mínima.
Igualando a derivada a zero:
Passo 5
Resolvendo a equação para
:
Como
e
são positivos, consideramos apenas a raiz positiva.
Passo 6
Agora que sabemos que
, podemos encontrar
usando a relação
:
Resposta
Os dois números positivos que satisfazem as condições são
e
.