Determine dois números positivos x e y com produto p e cuja soma seja a menor possível.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Precisamos encontrar dois números positivos e que, ao serem multiplicados, resultem em um produto fixo . Além disso, queremos que a soma desses dois números seja a menor possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização e cálculo.

Passo 2

Primeiro, como sabemos que e precisam multiplicar para dar , podemos expressar uma variável em função da outra. Vamos resolver para :

Passo 3

Agora, queremos minimizar a soma . Substituímos na expressão da soma:

Passo 4

Para encontrar o valor mínimo de , vamos derivar essa expressão em relação a e igualar a derivada a zero. Isso nos ajudará a encontrar o ponto onde a soma é mínima.
Igualando a derivada a zero:

Passo 5

Resolvendo a equação para :
Como e são positivos, consideramos apenas a raiz positiva.

Passo 6

Agora que sabemos que , podemos encontrar usando a relação :

Resposta

Os dois números positivos que satisfazem as condições são e .

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