Determine os intervalos onde a função é côncava para cima e côncava para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para descobrir onde a função
é côncava para cima e para baixo. Isso faz parte da matéria de cálculo, mais especificamente da análise de concavidade de funções. Para isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da função e ver onde ela é positiva ou negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A primeira derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da tangente em cada ponto.
A derivada de
é
, a de
é
, a de
é
e a derivada de uma constante como
é
. Então, a primeira derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função. A concavidade para cima ocorre onde a segunda derivada é positiva, e côncava para baixo onde é negativa.
Derivando
:
A derivada de
é
, a de
é
, e a de
é
. Então, a segunda derivada é:
Passo 4
Vamos encontrar onde a segunda derivada é zero, pois esses pontos podem ser onde a concavidade muda. Resolvendo
:
Passo 5
Agora, vamos testar intervalos ao redor desse ponto
para ver onde
é positiva ou negativa.
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
Resposta
A função
é côncava para baixo no intervalo
e côncava para cima no intervalo
.
Exercícios relacionados
Dadas as curvas paramétricas, encontre
em termos de
.
e
Calcule o que se pede:
Calcule o que se pede:
Escreva a expressão do equilibrio K para cada um das seguintes reações:
b)
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