Determine os intervalos onde a função é côncava para cima e côncava para baixo.
f(x)=x^3-6 x^2+9 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para descobrir onde a função é côncava para cima e para baixo. Isso faz parte da matéria de cálculo, mais especificamente da análise de concavidade de funções. Para isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da função e ver onde ela é positiva ou negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 . A primeira derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da tangente em cada ponto.
A derivada de é , a de é , a de é e a derivada de uma constante como é . Então, a primeira derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função. A concavidade para cima ocorre onde a segunda derivada é positiva, e côncava para baixo onde é negativa.
Derivando f''(x) = 6x - 12 :
A derivada de é , a de é , e a de é . Então, a segunda derivada é:

Passo 4

Vamos encontrar onde a segunda derivada é zero, pois esses pontos podem ser onde a concavidade muda. Resolvendo 6x - 12 = 0 6x = 12 x = 2 :

Passo 5

Agora, vamos testar intervalos ao redor desse ponto f''(1) = 6(1) - 12 = -6 (negativo) para ver onde f''(3) = 6(3) - 12 = 6 (positivo) é positiva ou negativa.
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :

Resposta

A função é côncava para baixo no intervalo e côncava para cima no intervalo .

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