Determine a inversa de cada função, se existir.
e) f(x) = sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a inversa da função . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas, mais especificamente com a função seno. Para encontrar a inversa, precisamos entender se a função original é inversível, ou seja, se conseguimos “desfazer” a função para voltar ao valor inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ter uma inversa. Para isso, a função precisa ser injetora (cada valor de tem no máximo um correspondente) e sobrejetora (cobre todo o conjunto de chegada). Se a função não for injetora, ela não será invertível no seu domínio completo.

Passo 3

A função não é injetora em todo o seu domínio porque ela se repete a cada radianos. Por exemplo, . Isso significa que não podemos definir uma inversa para em todo o conjunto dos números reais.

Passo 4

Para tornar a função injetora, precisamos restringir seu domínio a um intervalo onde ela seja crescente ou decrescente, sem repetições. O intervalo comummente utilizado é . Nesse intervalo, a função seno é estritamente crescente e, portanto, injetora.

Passo 5

Com o domínio restrito a , podemos definir a inversa da função seno. A inversa é conhecida como arcsin ou . Então, a inversa de nesse intervalo é:

Resposta

A inversa da função é , definida no intervalo .

Exercícios relacionados

Descreva o domínio e imagem de cada função:
d) f(x) = ||x - 1| - 1| + 1
Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas y = sen^2(x), y = sen^3(x), 0 <= x <= pi
Se z=e^x seny, onde x=s t^2 e y=s^2 t determine
partial zpartial s e partial zpartial r
a) Qual é o produto das raízes da equação 3^x + 1/(3^x) = 4*raiz(3)/3 ?
b) Determine o conjunto i) solução dos sistemas:
27^(3x + 2) < 9 5^x - 5^(x - 1) > 4/25
ii)
{ 3 * 2^x > 12, 2^(x^2 - 6*x + 9) <= 1 }