Determine a inversa de cada função, se existir.
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a inversa da função
. Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas, mais especificamente com a função seno. Para encontrar a inversa, precisamos entender se a função original é inversível, ou seja, se conseguimos “desfazer” a função para voltar ao valor inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ter uma inversa. Para isso, a função precisa ser injetora (cada valor de
tem no máximo um
correspondente) e sobrejetora (cobre todo o conjunto de chegada). Se a função não for injetora, ela não será invertível no seu domínio completo.
Passo 3
A função
não é injetora em todo o seu domínio porque ela se repete a cada
radianos. Por exemplo,
. Isso significa que não podemos definir uma inversa para
em todo o conjunto dos números reais.
Passo 4
Para tornar a função
injetora, precisamos restringir seu domínio a um intervalo onde ela seja crescente ou decrescente, sem repetições. O intervalo comummente utilizado é
. Nesse intervalo, a função seno é estritamente crescente e, portanto, injetora.
Passo 5
Com o domínio restrito a
, podemos definir a inversa da função seno. A inversa é conhecida como arcsin ou
. Então, a inversa de
nesse intervalo é:
Resposta
A inversa da função
é
, definida no intervalo
.
Exercícios relacionados
Descreva o domínio e imagem de cada função:
d)
d)
Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas
Se
seny, onde
e
determine
a) Qual é o produto das raízes da equação
?
b) Determine o conjunto i) solução dos sistemas:
b) Determine o conjunto i) solução dos sistemas:
ii)