Determine a inversa de cada função, se existir.
e) f(x) = sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a inversa da função . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas, mais especificamente com a função seno. Para encontrar a inversa, precisamos entender se a função original é inversível, ou seja, se conseguimos “desfazer” a função para voltar ao valor inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ter uma inversa. Para isso, a função precisa ser injetora (cada valor de tem no máximo um correspondente) e sobrejetora (cobre todo o conjunto de chegada). Se a função não for injetora, ela não será invertível no seu domínio completo.

Passo 3

A função não é injetora em todo o seu domínio porque ela se repete a cada radianos. Por exemplo, . Isso significa que não podemos definir uma inversa para em todo o conjunto dos números reais.

Passo 4

Para tornar a função injetora, precisamos restringir seu domínio a um intervalo onde ela seja crescente ou decrescente, sem repetições. O intervalo comummente utilizado é . Nesse intervalo, a função seno é estritamente crescente e, portanto, injetora.

Passo 5

Com o domínio restrito a , podemos definir a inversa da função seno. A inversa é conhecida como arcsin ou . Então, a inversa de nesse intervalo é:

Resposta

A inversa da função é , definida no intervalo .

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