Descreva o domínio e imagem de cada função:
d)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descrever o domínio e a imagem da função
. Isso está relacionado ao conteúdo de Funções e, mais especificamente, de funções compostas e valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender o que é domínio (todos os valores de
que a função aceita) e imagem (todos os valores que a função pode produzir).
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Observando
, percebemos que o valor absoluto sempre dá um resultado real e não impõe restrições. Portanto, não há valores de
que façam a função ficar indefinida.
Passo 3
Então, como a função não tem restrições, concluímos que o domínio é todos os números reais. Em notação matemática:
Passo 4
Agora, vamos para a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de
. Vamos analisar a função passo a passo:
-
sempre dá um resultado não negativo, ou seja, . - Subtraindo 1:
pode ser negativo ou não, então precisamos aplicar outro valor absoluto. - Aplicando o segundo valor absoluto:
novamente garante que o resultado seja não negativo. - Finalmente, somamos 1:
.
Passo 5
Vamos determinar o menor valor que
pode assumir. O termo
é sempre maior ou igual a 0, então o menor valor possível é quando
. Isso acontece quando
, ou seja, quando
. Resolvendo:
Portanto, o menor valor de
é:
Passo 6
Para o valor máximo, percebemos que
pode crescer indefinidamente conforme
cresce. Logo,
não tem um limite superior, ou seja, pode atingir valores tão grandes quanto quisermos.
Passo 7
Com isso, a imagem da função é todos os números reais maiores ou iguais a 1. Em notação matemática:
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais
e a imagem é
.
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Se
seny, onde
e
determine