Descreva o domínio e imagem de cada função:
d) f(x) = ||x - 1| - 1| + 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descrever o domínio e a imagem da função . Isso está relacionado ao conteúdo de Funções e, mais especificamente, de funções compostas e valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender o que é domínio (todos os valores de que a função aceita) e imagem (todos os valores que a função pode produzir).

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Observando , percebemos que o valor absoluto sempre dá um resultado real e não impõe restrições. Portanto, não há valores de que façam a função ficar indefinida.

Passo 3

Então, como a função não tem restrições, concluímos que o domínio é todos os números reais. Em notação matemática:
í

Passo 4

Agora, vamos para a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de . Vamos analisar a função passo a passo:
  1. sempre dá um resultado não negativo, ou seja, .
  2. Subtraindo 1: pode ser negativo ou não, então precisamos aplicar outro valor absoluto.
  3. Aplicando o segundo valor absoluto: novamente garante que o resultado seja não negativo.
  4. Finalmente, somamos 1: .

Passo 5

Vamos determinar o menor valor que pode assumir. O termo é sempre maior ou igual a 0, então o menor valor possível é quando . Isso acontece quando , ou seja, quando . Resolvendo:
Portanto, o menor valor de é:

Passo 6

Para o valor máximo, percebemos que pode crescer indefinidamente conforme cresce. Logo, não tem um limite superior, ou seja, pode atingir valores tão grandes quanto quisermos.

Passo 7

Com isso, a imagem da função é todos os números reais maiores ou iguais a 1. Em notação matemática:

Resposta

O domínio da função é todos os números reais e a imagem é .

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e) f(x) = sen(x)
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partial zpartial s e partial zpartial r