Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas y = sen^2(x), y = sen^3(x), 0 <= x <= pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que fica entre as curvas e no intervalo de a . Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de áreas entre curvas, que envolve integração. Vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas e identificar qual das duas funções está em cima em cada parte do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais das duas funções, ou , está maior em cada parte do intervalo de a . Isso é importante porque a área entre as curvas é calculada subtraindo a função menor da maior.

Passo 3

Vamos comparar e . Sabemos que varia entre e nesse intervalo. Quando está entre e , elevar ao quadrado ( ) resulta em um valor maior do que elevar ao cubo ( ). Portanto, está acima de em todo o intervalo de a .

Passo 4

Agora que sabemos que é a função de cima, a área entre as curvas pode ser calculada pela integral de de a :

Passo 5

Vamos calcular a integral separadamente. Primeiro, integramos :
E depois, integramos . Para isso, usamos uma identidade trigonométrica ou a técnica de integração por partes. A integral de é:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de a para cada parte:
Para :
Para :
Sabendo que e , temos:

Passo 7

Agora, juntando tudo para encontrar a área total:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades quadradas.

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Calcule as integrais: integral sen(3 x) sen(6 x) d x
Calcule as integrais: integral tan ^3 x sec ^6 x d x
Descreva o domínio e imagem de cada função:
d) f(x) = ||x - 1| - 1| + 1
Determine a inversa de cada função, se existir.
e) f(x) = sen(x)