Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que fica entre as curvas
e
no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de áreas entre curvas, que envolve integração. Vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas e identificar qual das duas funções está em cima em cada parte do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais das duas funções,
ou
, está maior em cada parte do intervalo de
a
. Isso é importante porque a área entre as curvas é calculada subtraindo a função menor da maior.
Passo 3
Vamos comparar
e
. Sabemos que
varia entre
e
nesse intervalo. Quando
está entre
e
, elevar ao quadrado (
) resulta em um valor maior do que elevar ao cubo (
). Portanto,
está acima de
em todo o intervalo de
a
.
Passo 4
Agora que sabemos que
é a função de cima, a área
entre as curvas pode ser calculada pela integral de
de
a
:
Passo 5
Vamos calcular a integral separadamente. Primeiro, integramos
:
E depois, integramos
. Para isso, usamos uma identidade trigonométrica ou a técnica de integração por partes. A integral de
é:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
para cada parte:
Para
:
Para
:
Sabendo que
e
, temos:
Passo 7
Agora, juntando tudo para encontrar a área total:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades quadradas.
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Descreva o domínio e imagem de cada função:
d)
d)
Determine a inversa de cada função, se existir.
e)
e)