Calcular integral duplaD 2 pi(x^2-y^2) sin (pi(x- y)^2) d x d y, onde D=(x, y) in R^2 ;|x|+|y| <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla de sobre a região . Estamos lidando com cálculo de integrais duplas, e para resolver isso, vamos precisar fazer uma mudança de variáveis para simplificar a região de integração e a própria integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integração. Observando a expressão u = x - y e v = x + y dentro do seno e a condição , uma boa ideia é definir novas variáveis:
Isso simplifica tanto a região quanto a expressão dentro da integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o determinante jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral. O jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v é dado por:
x = u + v2 e y = v - u2
Expressando partial xpartial u = 12, partial xpartial v = 12, partial ypartial u = -12, partial ypartial v = 12 e J = 12 & 12 -12 & 12 = (12 times 12) - (12 times -12) = 14 + 14 = 12 em termos de e :
Calculando as derivadas:
Então,
Portanto, o valor absoluto do jacobiano é .

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de integral duplaD 2pi(x^2 - y^2) sin(pi(x - y)^2) , dx , dy = integral duplaD' 2pi((u + v2)^2 - (v - u2)^2) sin(pi u^2) cdot 12 , du , dv e x^2 - y^2 = (u + v2)^2 - (v - u2)^2 = (u + v)^2 - (v - u)^24 = 4uv4 = uv :
integral duplaD' pi uv sin(pi u^2) , du , dv
Simplificando :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos definir os limites de integração na nova região pi integral-1^1 integral-1^1 uv sin(pi u^2) , dv , du . Originalmente, integral-1^1 v , dv = [v^22]-1^1 = 12 - 12 = 0 era pi cdot 0 = 0 , e após a mudança de variáveis, isso se traduz em e . Portanto, os limites são de a para e .
Assim, a integral se torna:
Vamos integrar primeiro em relação a :
Portanto, a integral toda é multiplicada por zero:

Resposta

O valor da integral é .

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