Calcular onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla de sobre a região . Estamos lidando com cálculo de integrais duplas, e para resolver isso, vamos precisar fazer uma mudança de variáveis para simplificar a região de integração e a própria integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integração. Observando a expressão dentro do seno e a condição , uma boa ideia é definir novas variáveis:
Isso simplifica tanto a região quanto a expressão dentro da integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o determinante jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral. O jacobiano é dado por:
Expressando e em termos de e :
Calculando as derivadas:
Então,
Portanto, o valor absoluto do jacobiano é .

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de e :
Simplificando :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos definir os limites de integração na nova região . Originalmente, era , e após a mudança de variáveis, isso se traduz em e . Portanto, os limites são de a para e .
Assim, a integral se torna:
Vamos integrar primeiro em relação a :
Portanto, a integral toda é multiplicada por zero:

Resposta

O valor da integral é .

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