Determine o Jacobiano da transformação:

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o Jacobiano da transformação dada pelas equações , e . O Jacobiano é uma ferramenta que nos ajuda a entender como as variáveis se transformam sob certas funções, e é muito usado em cálculo multivariado. Para resolver isso, precisaremos conhecer um pouco sobre derivadas parciais e como montar a matriz Jacobiana.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz Jacobiana. A matriz Jacobiana é composta pelas derivadas parciais das novas variáveis em relação às variáveis originais . Portanto, precisamos calcular as seguintes derivadas:
  1. Derivadas de em relação a , , e :
    • (porque não depende de );
    • (porque a derivada de em relação a é 1);
    • (porque a derivada de em relação a é ).
  2. Derivadas de em relação a , , e :
    • (porque a derivada de em relação a é );
    • (porque não depende de );
    • (porque a derivada de em relação a é 1).
  3. Derivadas de em relação a , , e :
    • (porque a derivada de em relação a é 1);
    • (porque a derivada de em relação a é );
    • (porque não depende de ).
Agora, vamos montar a matriz Jacobiana . Ela terá a seguinte forma:

Passo 3

Agora que temos a matriz Jacobiana, precisamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar o Jacobiano da transformação. O determinante de uma matriz pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui.
Aplicando a regra de Sarrus à matriz Jacobiana, temos:
Assim, o determinante do Jacobiano é:

Resposta

Portanto, o Jacobiano da transformação é .

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Escolha uma opção:
A. 5015,43
B. 6742,63
C. nenhuma das outras
D. 7859,87
Utilize a transformação dada para calcular a integral: ; onde é a região limitada pela elipse
Utilize a transformação dada para calcular a integral: ; onde é a região limitada pela elipse ;