Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o Jacobiano da transformação dada pelas equações , e . O Jacobiano é uma ferramenta que nos ajuda a entender como as variáveis se transformam sob certas funções, e é muito usado em cálculo multivariado. Para resolver isso, precisaremos conhecer um pouco sobre derivadas parciais e como montar a matriz Jacobiana.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz Jacobiana. A matriz Jacobiana é composta pelas derivadas parciais das novas variáveis em relação às variáveis originais . Portanto, precisamos calcular as seguintes derivadas:
Derivadas de em relação a , , e :
(porque não depende de );
(porque a derivada de em relação a é 1);
(porque a derivada de em relação a é ).
Derivadas de em relação a , , e :
(porque a derivada de em relação a é );
(porque não depende de );
(porque a derivada de em relação a é 1).
Derivadas de em relação a , , e :
(porque a derivada de em relação a é 1);
(porque a derivada de em relação a é );
(porque não depende de ).
Agora, vamos montar a matriz Jacobiana . Ela terá a seguinte forma:
Passo 3
Agora que temos a matriz Jacobiana, precisamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar o Jacobiano da transformação. O determinante de uma matriz pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui.
Aplicando a regra de Sarrus à matriz Jacobiana, temos: