Determine o Jacobiano da transformação: x=v+w^2 ; y=w+u^2 ; z=u+v^2

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o Jacobiano da transformação dada pelas equações x = v + w^2, y = w + u^2 e z = u + v^2. O Jacobiano é uma ferramenta que nos ajuda a entender como as variáveis se transformam sob certas funções, e é muito usado em cálculo multivariado. Para resolver isso, precisaremos conhecer um pouco sobre derivadas parciais e como montar a matriz Jacobiana.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz Jacobiana. A matriz Jacobiana é composta pelas derivadas parciais das novas variáveis (x, y, z) em relação às variáveis originais (u, v, w). Portanto, precisamos calcular as seguintes derivadas:
  1. Derivadas de x em relação a u, v, e w:
    • partial xpartial u = 0 (porque x não depende de u);
    • partial xpartial v = 1 (porque a derivada de v em relação a v é 1);
    • partial xpartial w = 2w (porque a derivada de w^2 em relação a w é 2w).
  2. Derivadas de y em relação a u, v, e w:
    • partial ypartial u = 2u (porque a derivada de u^2 em relação a u é 2u);
    • partial ypartial v = 0 (porque y não depende de v);
    • partial ypartial w = 1 (porque a derivada de w em relação a w é 1).
  3. Derivadas de z em relação a u, v, e w:
    • partial zpartial u = 1 (porque a derivada de u em relação a u é 1);
    • partial zpartial v = 2v (porque a derivada de v^2 em relação a v é 2v);
    • partial zpartial w = 0 (porque z não depende de w).
Agora, vamos montar a matriz Jacobiana J. Ela terá a seguinte forma:
J = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w = 0 & 1 & 2w 2u & 0 & 1 1 & 2v & 0

Passo 3

Agora que temos a matriz Jacobiana, precisamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar o Jacobiano da transformação. O determinante de uma matriz 3 times 3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui.
Aplicando a regra de Sarrus à matriz Jacobiana, temos:
det(J) = 0 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 2v) - 1 cdot (2u cdot 0 - 1 cdot 2w) + 2w cdot (2u cdot 2v - 0 cdot 1)
= 0 + 2w + 2w cdot (4uv)
= 2w + 8uwv
Assim, o determinante do Jacobiano é:
det(J) = 2w(1 + 4uv)

Resposta

Portanto, o Jacobiano da transformação é 2w(1 + 4uv).

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