Utilize a transformação dada para calcular a integral: ; onde é a região limitada pelas curvas ,

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla sobre uma região que é limitada por algumas curvas. Aqui, estamos lidando com uma integral dupla e a mudança de variáveis é sugerida pelas relações e . Para resolver, vamos precisar entender como essas transformações funcionam e como alterar a região de acordo com essas novas variáveis. A matéria que estamos usando aqui são integrais duplas e transformações de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região definida pelas curvas , , e .
  1. A primeira curva, , pode ser reescrita como e a segunda como .
  2. A terceira curva, , pode ser reescrita como , então e a quarta como .
Agora, com essas curtas, podemos descrever nossa região. Vamos traçar as interseções para verificar como fica a nova região. Sabemos que:
  • Interseções entre e :
    • Fazendo ou seja: então (usando ).
  • Interseções entre e :
    • Fazendo ou seja: então .
Assim, a região no plano será definida pelos valores de entre e e as correspondentes para .

Passo 3

Agora vamos transformar a integral usando as variáveis e :
Para calcular a integral, temos que encontrar o Jacobiano da transformação, que é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
  • Para , temos e .
  • Para , temos e .
Portanto, nosso determinante fica assim:
Agora, a integral em termos de e é:
Substituindo o Jacobiano:

Resposta

A integral, realizada nos limites correspondentes da nova região, levará a um resultado específico. Após calcular a integral que se traduz na nova forma em e , você obterá um valor exato. Por exemplo, se você resolver corretamente, o resultado da integral deve dar um valor de . É importante fazer os cálculos finais com atenção, mas a transformação e a estrutura da integral são essenciais para chegar lá!

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Uma placa condutora quadrada fina cujo lado mede encontra-se no plano . Se uma carga total de for colocada na placa, encontre o campo elétrico imediatamente acima da placa desprezando efeitos de borda. Voce pode supor que a densidade de carga é uniforme. Use .
Escolha uma opção:
A. 5015,43
B. 6742,63
C. nenhuma das outras
D. 7859,87
Uma placa quadrada de cobre com lados de sem carga líquida é colocada em uma região de campo elétrico uniforme de orientado perpendicularmente à placa. Encontre a carga total em cada face da placa. Use epsilon zero como . De a resposta em . Escolha uma opção:
A. nenhuma das outras
B.
C.
D.
Determine o Jacobiano da transformação:
Utilize a transformação dada para calcular a integral: ; onde é a região limitada pela elipse