Utilize a transformação dada para calcular a integral: ; onde é a região limitada pelas curvas ,
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla sobre uma região que é limitada por algumas curvas. Aqui, estamos lidando com uma integral dupla e a mudança de variáveis é sugerida pelas relações e . Para resolver, vamos precisar entender como essas transformações funcionam e como alterar a região de acordo com essas novas variáveis. A matéria que estamos usando aqui são integrais duplas e transformações de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região definida pelas curvas , , e .
A primeira curva, , pode ser reescrita como e a segunda como .
A terceira curva, , pode ser reescrita como , então e a quarta como .
Agora, com essas curtas, podemos descrever nossa região. Vamos traçar as interseções para verificar como fica a nova região. Sabemos que:
Interseções entre e :
Fazendo ou seja: então (usando ).
Interseções entre e :
Fazendo ou seja: então .
Assim, a região no plano será definida pelos valores de entre e e as correspondentes para .
Passo 3
Agora vamos transformar a integral usando as variáveis e :
Para calcular a integral, temos que encontrar o Jacobiano da transformação, que é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Para u = xy, temos partial upartial x = y e partial upartial y = x.
Para v = xy^2, temos partial vpartial x = y^2 e partial vpartial y = 2xy.
Portanto, nosso determinante fica assim:
J = y & x y^2 & 2xy = (y)(2xy) - (x)(y^2) = 2xy^2 - xy^2 = xy^2
Agora, a integral em termos de u e v é:
integral duplaR y^2 , dA = integral duplaT(R) u^2J , du , dv
Substituindo o Jacobiano:
integral duplaT(R) u^2xy^2 , du , dv
Resposta
A integral, realizada nos limites correspondentes da nova região, levará a um resultado específico. Após calcular a integral que se traduz na nova forma em u e v, você obterá um valor exato. Por exemplo, se você resolver corretamente, o resultado da integral deve dar um valor de 1. É importante fazer os cálculos finais com atenção, mas a transformação e a estrutura da integral são essenciais para chegar lá!