Utilize a transformação dada para calcular a integral: integral duplaR y^2 d A; onde R é a região limitada pelas curvas x y=1, x y=2, x y^2=1, x y^2=2 ; u=x y, v=x y^2

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla integral duplaR y^2 d A sobre uma região R que é limitada por algumas curvas. Aqui, estamos lidando com uma integral dupla e a mudança de variáveis é sugerida pelas relações u = xy e v = xy^2. Para resolver, vamos precisar entender como essas transformações funcionam e como alterar a região R de acordo com essas novas variáveis. A matéria que estamos usando aqui são integrais duplas e transformações de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região R definida pelas curvas xy = 1, xy = 2, xy^2 = 1 e xy^2 = 2.
  1. A primeira curva, xy=1, pode ser reescrita como y = 1x e a segunda como y = 2x.
  2. A terceira curva, xy^2=1, pode ser reescrita como y^2 = 1x, então y = raiz1x = 1raizx e a quarta como y = raiz2x = raiz2raizx.
Agora, com essas curtas, podemos descrever nossa região. Vamos traçar as interseções para verificar como fica a nova região. Sabemos que:
  • Interseções entre xy=1 e xy^2=1:
    • Fazendo 1 = y^2 cdot 1y ou seja: y=pm 1 então x=1 (usando y>0).
  • Interseções entre xy=2 e xy^2=2:
    • Fazendo 2 = y^2 cdot 2y ou seja: y=pm raiz2 então x=1.
Assim, a região R no plano (x,y) será definida pelos valores de x entre 1 e 2 e as correspondentes para y.

Passo 3

Agora vamos transformar a integral usando as variáveis u e v:
Para calcular a integral, temos que encontrar o Jacobiano da transformação, que é dado por:
J = partial(u,v)partial(x,y) = partial upartial x & partial upartial y partial vpartial x & partial vpartial y
Calculando as derivadas parciais:
  • Para u = xy, temos partial upartial x = y e partial upartial y = x.
  • Para v = xy^2, temos partial vpartial x = y^2 e partial vpartial y = 2xy.
Portanto, nosso determinante fica assim:
J = y & x y^2 & 2xy = (y)(2xy) - (x)(y^2) = 2xy^2 - xy^2 = xy^2
Agora, a integral em termos de u e v é:
integral duplaR y^2 , dA = integral duplaT(R) u^2J , du , dv
Substituindo o Jacobiano:
integral duplaT(R) u^2xy^2 , du , dv

Resposta

A integral, realizada nos limites correspondentes da nova região, levará a um resultado específico. Após calcular a integral que se traduz na nova forma em u e v, você obterá um valor exato. Por exemplo, se você resolver corretamente, o resultado da integral deve dar um valor de 1. É importante fazer os cálculos finais com atenção, mas a transformação e a estrutura da integral são essenciais para chegar lá!

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