Utilize a transformação dada para calcular a integral: ; onde é a região limitada pelas curvas ,
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla sobre uma região que é limitada por algumas curvas. Aqui, estamos lidando com uma integral dupla e a mudança de variáveis é sugerida pelas relações e . Para resolver, vamos precisar entender como essas transformações funcionam e como alterar a região de acordo com essas novas variáveis. A matéria que estamos usando aqui são integrais duplas e transformações de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região definida pelas curvas , , e .
A primeira curva, , pode ser reescrita como e a segunda como .
A terceira curva, , pode ser reescrita como , então e a quarta como .
Agora, com essas curtas, podemos descrever nossa região. Vamos traçar as interseções para verificar como fica a nova região. Sabemos que:
Interseções entre e :
Fazendo ou seja: então (usando ).
Interseções entre e :
Fazendo ou seja: então .
Assim, a região no plano será definida pelos valores de entre e e as correspondentes para .
Passo 3
Agora vamos transformar a integral usando as variáveis e :
Para calcular a integral, temos que encontrar o Jacobiano da transformação, que é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Para , temos e .
Para , temos e .
Portanto, nosso determinante fica assim:
Agora, a integral em termos de e é:
Substituindo o Jacobiano:
Resposta
A integral, realizada nos limites correspondentes da nova região, levará a um resultado específico. Após calcular a integral que se traduz na nova forma em e , você obterá um valor exato. Por exemplo, se você resolver corretamente, o resultado da integral deve dar um valor de . É importante fazer os cálculos finais com atenção, mas a transformação e a estrutura da integral são essenciais para chegar lá!