Utilize a transformação dada para calcular a integral: ; onde é a região limitada pela elipse ;
Passo 1
Vamos resumir o que temos no exercício e o conteúdo que vamos usar. Precisamos calcular a integral dupla , onde a região é delimitada pela elipse . Para facilitar os cálculos, vamos usar a transformação e .
Nesse exercício, vamos usar a mudança de variáveis em integrais, que nos ajuda a transformar a integral em coordenadas que tornam os cálculos mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com a equação da elipse quando fazemos essa troca de variáveis. Substituindo e na equação da elipse, temos:
Expandindo isso, fica:
Dividindo tudo por 36, chegamos a:
Isso mostra que nossa nova região de integração em termos de e é um círculo de raio 1.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o jacobiano da transformação para mudar a área. O jacobiano é dado por
Calculando as derivadas, temos:
partial xpartial u = 2, partial xpartial v = 0, partial ypartial u = 0, partial ypartial v = 3
Assim, o jacobiano é:
J = 2 & 0 0 & 3 = 2 cdot 3 - 0 cdot 0 = 6
Passo 4
Agora, com o jacobiano em mãos, podemos transformar a integral original. Lembre-se que na nova integral, a área dA se torna J , du , dv. Portanto, a integral se torna:
integral duplaR' (2u)^2 cdot 6 , du , dv
Simplificando, ficamos com:
integral duplaR' 24u^2 , du , dv
A região R' é um círculo de raio 1, então, para facilitar, vamos usar coordenadas polares: u = rcostheta e v = rsintheta, onde 0 <= r <= 1 e 0 <= theta < 2pi.
Convertemos a integral:
integral duplaR' 24(rcostheta)^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 24r^3cos^2theta , dr , dtheta
Passo 5
Primeiro, vamos calcular a integral em relação a r: