Utilize a transformação dada para calcular a integral: ; onde é a região limitada pela elipse ;

Passo 1

Vamos resumir o que temos no exercício e o conteúdo que vamos usar. Precisamos calcular a integral dupla , onde a região é delimitada pela elipse . Para facilitar os cálculos, vamos usar a transformação e .
Nesse exercício, vamos usar a mudança de variáveis em integrais, que nos ajuda a transformar a integral em coordenadas que tornam os cálculos mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com a equação da elipse quando fazemos essa troca de variáveis. Substituindo e na equação da elipse, temos:
Expandindo isso, fica:
Dividindo tudo por 36, chegamos a:
Isso mostra que nossa nova região de integração em termos de e é um círculo de raio 1.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o jacobiano da transformação para mudar a área. O jacobiano é dado por
Calculando as derivadas, temos:
Assim, o jacobiano é:

Passo 4

Agora, com o jacobiano em mãos, podemos transformar a integral original. Lembre-se que na nova integral, a área se torna . Portanto, a integral se torna:
Simplificando, ficamos com:
A região é um círculo de raio 1, então, para facilitar, vamos usar coordenadas polares: e , onde e .
Convertemos a integral:

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a integral em relação a :
Agora, precisamos calcular a integral em relação a :
Sabemos que

Resposta

Então, agora juntando tudo, temos:
Portanto, a resposta final da integral é .

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Determine o Jacobiano da transformação:
Uma onda transversal longitudinal progressiva propaga-se ao longo de uma corda com velocidade de . Observa-se que o deslocamento da corda em varia com o tempo de acordo com a equação . A massa específica da corda é . Responda aos itens abaixo.
© Escreva a função de onda dos deslocamentos transversais da corda
O alto falante de um aparelho de som emite 4 W de potência na frequência de . Admitindo-se que o som se distribui uniformemente em todas as direções, determine num ponto situado a do alto falante.
(A) A intensidade do som.