Utilize a transformação dada para calcular a integral: integral duplaR x^2 d A; onde R é a região limitada pela elipse 9 x^2+4 y^2=36; x=2 u, y=3 v

Passo 1

Vamos resumir o que temos no exercício e o conteúdo que vamos usar. Precisamos calcular a integral dupla integral duplaR x^2 dA, onde a região R é delimitada pela elipse 9 x^2 + 4 y^2 = 36. Para facilitar os cálculos, vamos usar a transformação x = 2u e y = 3v.
Nesse exercício, vamos usar a mudança de variáveis em integrais, que nos ajuda a transformar a integral em coordenadas que tornam os cálculos mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com a equação da elipse quando fazemos essa troca de variáveis. Substituindo x = 2u e y = 3v na equação da elipse, temos:
9(2u)^2 + 4(3v)^2 = 36
Expandindo isso, fica:
36u^2 + 36v^2 = 36
Dividindo tudo por 36, chegamos a:
u^2 + v^2 = 1
Isso mostra que nossa nova região de integração R' em termos de u e v é um círculo de raio 1.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o jacobiano da transformação para mudar a área. O jacobiano é dado por
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
Calculando as derivadas, temos:
partial xpartial u = 2, partial xpartial v = 0, partial ypartial u = 0, partial ypartial v = 3
Assim, o jacobiano é:
J = 2 & 0 0 & 3 = 2 cdot 3 - 0 cdot 0 = 6

Passo 4

Agora, com o jacobiano em mãos, podemos transformar a integral original. Lembre-se que na nova integral, a área dA se torna J , du , dv. Portanto, a integral se torna:
integral duplaR' (2u)^2 cdot 6 , du , dv
Simplificando, ficamos com:
integral duplaR' 24u^2 , du , dv
A região R' é um círculo de raio 1, então, para facilitar, vamos usar coordenadas polares: u = rcostheta e v = rsintheta, onde 0 <= r <= 1 e 0 <= theta < 2pi.
Convertemos a integral:
integral duplaR' 24(rcostheta)^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 24r^3cos^2theta , dr , dtheta

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a integral em relação a r:
integral0^1 24r^3 , dr = 24 cdot [ r^44 ]0^1 = 24 cdot 14 = 6
Agora, precisamos calcular a integral em relação a theta:
integral0^2pi cos^2theta , dtheta
Sabemos que
integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi

Resposta

Então, agora juntando tudo, temos:
integral duplaR' 24u^2 , dA = 6 cdot pi = 6pi
Portanto, a resposta final da integral é 6pi.

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