Utilize a transformação dada para calcular a integral: ; onde é a região limitada pela elipse ;
Passo 1
Vamos resumir o que temos no exercício e o conteúdo que vamos usar. Precisamos calcular a integral dupla , onde a região é delimitada pela elipse . Para facilitar os cálculos, vamos usar a transformação e .
Nesse exercício, vamos usar a mudança de variáveis em integrais, que nos ajuda a transformar a integral em coordenadas que tornam os cálculos mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com a equação da elipse quando fazemos essa troca de variáveis. Substituindo e na equação da elipse, temos:
Expandindo isso, fica:
Dividindo tudo por 36, chegamos a:
Isso mostra que nossa nova região de integração em termos de e é um círculo de raio 1.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o jacobiano da transformação para mudar a área. O jacobiano é dado por
Calculando as derivadas, temos:
Assim, o jacobiano é:
Passo 4
Agora, com o jacobiano em mãos, podemos transformar a integral original. Lembre-se que na nova integral, a área se torna . Portanto, a integral se torna:
Simplificando, ficamos com:
A região é um círculo de raio 1, então, para facilitar, vamos usar coordenadas polares: e , onde e .
Convertemos a integral:
Passo 5
Primeiro, vamos calcular a integral em relação a :
Agora, precisamos calcular a integral em relação a :