Determine, justificando, quais das matrizes a seguir são invertíveis.
(lll3 & 1 & 2 2 & 1 & 2 1 & 2 & 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a matriz a seguir é invertível. Isso está ligado ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente ao estudo de matrizes e determinantes. Para descobrir se uma matriz é invertível, precisamos calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
A matriz que vamos analisar é:
3 & 1 & 2 2 & 1 & 2 1 & 2 & 2

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que nos dá várias informações sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para matrizes 3x3, a fórmula do determinante é um pouco mais trabalhosa, mas a gente vai passar por ela passo a passo.
A matriz geral 3x3 é:
a & b & c d & e & f g & h & i
O determinante dessa matriz é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula na nossa matriz específica. Vamos identificar cada elemento:
a = 3, b = 1, c = 2 d = 2, e = 1, f = 2 g = 1, h = 2, i = 2
Agora, substituindo na fórmula do determinante:
det(A) = 3(1 times 2 - 2 times 2) - 1(2 times 2 - 2 times 1) + 2(2 times 2 - 1 times 1)

Passo 4

Vamos calcular cada parte dentro dos parênteses:
  1. det(A) = 3(-2) - 1(2) + 2(3) = -6 - 2 + 6 = -2
Substituindo de volta na expressão:

Resposta

Como o determinante da matriz é (que é diferente de zero), a matriz dada é invertível.

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A inversa de uma matriz invertível simétrica é sempre simétrica? Explique ou prove.
Se A^-1=(ll3 & 2 1 & 3) e B^-1=(cc2 & 3 1 & -2), encontre, caso possível, (A+B)^-1 e (A B)^-1.