Encontre os valores de t para os quais A é invertível.
(b) A=(ccct & t & 0 t^2 & 2 & t 0 & t & t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir para quais valores de a matriz é invertível. Matriz invertível basicamente significa que ela tem um “inverso”, ou seja, pode ser “desfeita”. Para isso, vamos usar o conceito de determinante. Se o determinante da matriz for diferente de zero, a matriz é invertível. Então, vamos precisar calcular o determinante da matriz e ver para quais valores de ele não é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = t & t & 0 t^2 & 2 & t 0 & t & t direitinho:
det(A) = t cdot 2 & t t & t - t cdot t^2 & t 0 & t + 0 cdot t^2 & 2 0 & t
Agora, para calcular o determinante dessa matriz 3x3, vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vou usar a expansão pela primeira linha para ficar mais claro:
2 & t t & t = (2)(t) - (t)(t) = 2t - t^2
Calculando os determinantes menores:
t^2 & t 0 & t = (t^2)(t) - (t)(0) = t^3
det(A) = t(2t - t^2) - t(t^3) + 0 = 2t^2 - t^3 - t^4
Agora substituímos de volta:

Passo 3

Temos o determinante da matriz det(A) = -t^4 - t^3 + 2t^2 :
-t^4 - t^3 + 2t^2 neq 0
Para que a matriz seja invertível, precisamos que esse determinante seja diferente de zero:
t^2(-t^2 - t + 2) = 0
Vamos resolver a equação -t^2 - t + 2 = 0 Rightarrow t^2 + t - 2 = 0 :
Primeiro, fatoramos t = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32 :
t = -1 + 32 = 1 ou t = -1 - 32 = -2
Isso nos dá duas possibilidades:
Resolvendo a segunda equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então:

Resposta

A matriz é invertível para todos os valores de exceto , e .

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Determine, justificando, quais das matrizes a seguir são invertíveis.
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