Determine k para que a função dada seja uma função densidade de probabilidade:
(a) f(x)=k x e^-x^2 para x >= 0 e f(x)=0 para x<0.
(b) f(x)=k e^-|x-1| para todo x real.
© f(x)=k x(x-5) para 0 <= x <= 5 f(x)=0 para x<0 ou x>5.
(d) f(x)=k1+4 x^2 para todo x real.
(e) f(x)=kx^3 para x >= 1 e f(x)=0 para x<1.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem a função para e para . O objetivo aqui é encontrar o valor de que faz essa função ser uma função densidade de probabilidade. Para isso, vamos precisar entender que a integral de toda a função deve ser igual a 1.

Passo 2

Primeiro, o que é uma função densidade de probabilidade? É uma função que descreve a distribuição das probabilidades de uma variável contínua. Para que seja uma função densidade válida, duas condições devem ser satisfeitas:
  1. para todo .
  2. A integral de em todo o espaço deve ser igual a 1.

Passo 3

Já que integral0^+infty k x e^-x^2 , dx = 1 para , a gente só precisa focar na parte onde . Então, vamos calcular a integral de de 0 até e igualar a 1:

Passo 4

Vamos resolver essa integral. A integral u = -x^2 Rightarrow du = -2x dx Rightarrow -12 du = x dx é conhecida e facilita se fizermos uma substituição. Vamos deixar:
k integral0^+infty x e^-x^2 , dx = k ( -12 integral0^+infty e^u du )
Substituindo na integral:

Passo 5

Integrando, temos:
-12 integralu=0^u=-infty e^u du = -12 [ e^u ]0^-infty = -12 ( 0 - 1 ) = 12
Então, a integral fica:
k times 12 = 1

Resposta

Resolvendo para k = 2 :
Então, o valor de que faz ser uma função densidade de probabilidade é 2.

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