Determine
para que a função dada seja uma função densidade de probabilidade:
(a)
para
e
para
.
(b)
para todo
real.
©
para
para
ou
.
(d)
para todo
real.
(e)
para
e
para
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Vamos lá! A gente tem a função
para
e
para
. O objetivo aqui é encontrar o valor de
que faz essa função ser uma função densidade de probabilidade. Para isso, vamos precisar entender que a integral de toda a função deve ser igual a 1.
Passo 2
Primeiro, o que é uma função densidade de probabilidade? É uma função que descreve a distribuição das probabilidades de uma variável contínua. Para que
seja uma função densidade válida, duas condições devem ser satisfeitas:
-
para todo . - A integral de
em todo o espaço deve ser igual a 1.
Passo 3
Já que
para
, a gente só precisa focar na parte onde
. Então, vamos calcular a integral de
de 0 até
e igualar a 1:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. A integral
é conhecida e facilita se fizermos uma substituição. Vamos deixar:
Substituindo na integral:
Passo 5
Integrando, temos:
Então, a integral fica:
Resposta
Resolvendo para
:
Então, o valor de
que faz
ser uma função densidade de probabilidade é 2.