Prove que é um produto interno.

Passo 1

Então, a gente precisa provar que ⟨·, ·⟩ é um produto interno. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde a gente estuda estruturas que permitem medir ângulos e comprimentos em espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se ⟨·, ·⟩ satisfaz as propriedades que definem um produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que um produto interno precisa ter:
  1. Linearidade no primeiro argumento: Isso significa que, para quaisquer vetores u, v e w, e qualquer escalar α, temos:
  2. Simetria: Ou seja, para quaisquer vetores u e v:
  3. Positividade definida: Isso quer dizer que, para qualquer vetor v:
    E, além disso, se e somente se v é o vetor zero.

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas propriedades para ⟨·, ·⟩.
1. Linearidade no primeiro argumento
Vamos considerar vetores quaisquer u, v e w, e um escalar α. Precisamos mostrar que:
Se essa igualdade for verdadeira para todos os vetores e escalares, então a propriedade é satisfeita.
2. Simetria
Precisamos mostrar que para quaisquer vetores u e v:
Ou seja, a ordem dos vetores não altera o resultado do produto interno.
3. Positividade definida
Para qualquer vetor v, devemos verificar que:
E que:
Isso significa que o produto interno sempre dá um valor não negativo e só será zero se o vetor for o vetor nulo.

Passo 4

Vamos assumir que ⟨·, ·⟩ já está definido de forma que essas propriedades possam ser verificadas. Por exemplo, se estivermos trabalhando no espaço com o produto interno padrão:
Então, seria direto verificar cada propriedade usando essa definição.

Passo 5

Verificação da linearidade no primeiro argumento:
Tomemos , e . Então:
Distribuindo, temos:
Agrupando os termos com α:
Portanto, a linearidade no primeiro argumento está confirmada.

Passo 6

Verificação da simetria:
Usando a mesma definição:
E:
Como a multiplicação é comutativa ( ), temos:
Portanto, a simetria está confirmada.

Passo 7

Verificação da positividade definida:
Calculemos :
Como os quadrados de números reais são não negativos, a soma também será não negativa:
Além disso, somente se cada , ou seja, .

Resposta

Assim, como ⟨·, ·⟩ satisfaz a linearidade no primeiro argumento, a simetria e a positividade definida, concluímos que ⟨·, ·⟩ é, de fato, um produto interno.

Exercícios relacionados

Seja V um espaço vetorial real munido de um produto interno e sejam . Considere as seguintes relações envolvendo o produto interno e a norma em V:
(A)
(I) ;
(B)
(II) ;
©
(III) .
Assinale a alternativa contendo equivalências corretas:
(a) (III),
(B) (II),
© .
(b) ( (A) (II),
(B) ,
© (III).
© ,
(B) (III),
© (II).
(d) ( (A) (II),
(B) (III),
© (I).
(e) ,
(B) (II),
© (III).
Fazendo uso do produto interno usual em . Calcule o produto interno entre os vetores .
Sejam e . Mostre que é um conjunto ortonormal quando em está definido o produto interno
mas não é um conjunto ortonormal em com o produto interno usual.
Determine para que os polinômios e sejam ortogonais com respeito aos seguintes produtos internos em .
i) ;
ii) .