Prove que lang<=cdot, cdotrang<= é um produto interno.

Passo 1

Então, a gente precisa provar que ⟨·, ·⟩ é um produto interno. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde a gente estuda estruturas que permitem medir ângulos e comprimentos em espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se ⟨·, ·⟩ satisfaz as propriedades que definem um produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que um produto interno precisa ter:
  1. Linearidade no primeiro argumento: Isso significa que, para quaisquer vetores u, v e w, e qualquer escalar α, temos:
    lang<= alpha u + v, w rang<= = alpha lang<= u, w rang<= + lang<= v, w rang<=
  2. Simetria: Ou seja, para quaisquer vetores u e v:
    lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=
  3. Positividade definida: Isso quer dizer que, para qualquer vetor v:
    lang<= v, v rang<= >= 0
    E, além disso, se e somente se v é o vetor zero.

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas propriedades para ⟨·, ·⟩.
1. Linearidade no primeiro argumento
Vamos considerar vetores quaisquer u, v e w, e um escalar α. Precisamos mostrar que:
lang<= alpha u + v, w rang<= = alpha lang<= u, w rang<= + lang<= v, w rang<=
Se essa igualdade for verdadeira para todos os vetores e escalares, então a propriedade é satisfeita.
2. Simetria
Precisamos mostrar que para quaisquer vetores u e v:
lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=
Ou seja, a ordem dos vetores não altera o resultado do produto interno.
3. Positividade definida
Para qualquer vetor v, devemos verificar que:
lang<= v, v rang<= >= 0
E que:
lang<= v, v rang<= = 0 se e somente se v = 0
Isso significa que o produto interno sempre dá um valor não negativo e só será zero se o vetor for o vetor nulo.

Passo 4

Vamos assumir que ⟨·, ·⟩ já está definido de forma que essas propriedades possam ser verificadas. Por exemplo, se estivermos trabalhando no espaço lang<= u, v rang<= = u1 v1 + u2 v2 + dots + un vn com o produto interno padrão:
Então, seria direto verificar cada propriedade usando essa definição.

Passo 5

Verificação da linearidade no primeiro argumento:
Tomemos lang<= alpha u + v, w rang<= = (alpha u1 + v1)w1 + (alpha u2 + v2)w2 + dots + (alpha un + vn)wn , = alpha u1 w1 + v1 w1 + alpha u2 w2 + v2 w2 + dots + alpha un wn + vn wn e = alpha (u1 w1 + u2 w2 + dots + un wn) + (v1 w1 + v2 w2 + dots + vn wn) = alpha lang<= u, w rang<= + lang<= v, w rang<= . Então:
Distribuindo, temos:
Agrupando os termos com α:
Portanto, a linearidade no primeiro argumento está confirmada.

Passo 6

Verificação da simetria:
Usando a mesma definição:
lang<= u, v rang<= = u1 v1 + u2 v2 + dots + un vn
E:
lang<= v, u rang<= = v1 u1 + v2 u2 + dots + vn un
Como a multiplicação é comutativa ( lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<= ), temos:
Portanto, a simetria está confirmada.

Passo 7

Verificação da positividade definida:
Calculemos lang<= v, v rang<= = v1^2 + v2^2 + dots + vn^2 :
lang<= v, v rang<= >= 0
Como os quadrados de números reais são não negativos, a soma também será não negativa:
Além disso, somente se cada , ou seja, .

Resposta

Assim, como ⟨·, ·⟩ satisfaz a linearidade no primeiro argumento, a simetria e a positividade definida, concluímos que ⟨·, ·⟩ é, de fato, um produto interno.

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