Determine para que o seguinte subespaço de tenha dimensão 1 .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a pergunta está pedindo. A gente tem um subespaço de definido por uma matriz que depende de um parâmetro . Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que tenha dimensão 1. Isso envolve entender conceitos de espaços vetoriais e matrizes, especialmente sobre a dimensão de um subespaço, que está relacionada ao posto da matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a dimensão do subespaço é igual ao posto (ou rank) da matriz . Então, para ter dimensão 1, o posto de deve ser 1. Isso significa que todas as colunas de devem ser múltiplos umas das outras, ou seja, devem ser linearmente dependentes.
Para que o posto de seja 1, todas as colunas devem ser múltiplos de uma única coluna. Vamos verificar isso comparando as colunas.
Passo 4
Vamos comparar a primeira coluna 2 lambda -2 com a segunda -1 2 1 . Se elas forem múltiplos, deve existir um escalar -1 = 2k 2 = lambda k 1 = -2k tal que:
Resolvendo a primeira equação: .
Passo 5
Substituindo 2 = lambda (-12) Rightarrow lambda = -4 na segunda equação:
1 = -2 (-12) = 1
Vamos verificar na terceira equação:
Tudo certo!
Passo 6
Para garantir que a terceira coluna também é múltiplo das outras, vamos comparar com 2 -4 -2 :
Primeira coluna com 1 -2 -1 = 12 2 -4 -2 :
Terceira coluna:
Está tudo proporcional!
Resposta
O valor de que faz com que o subespaço tenha dimensão 1 é .