A reta r passa pelo ponto A(1,2,-1) e é paralela ao vetor u=(2,1,3). Calcular o valor de m para que o ponto B(5, m, n) seja um ponto da reta r.
Resposta: m=4

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma reta que passa pelo ponto e é paralela ao vetor . Nosso objetivo é encontrar o valor de tal que o ponto esteja pertencendo a essa reta. Para resolver isso, vamos usar as equações paramétricas da reta e verificar para qual valor de o ponto satisfaz essas equações.

Passo 2

Primeiro, precisamos escrever as equações paramétricas da reta x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct . Uma reta no espaço pode ser representada por:
x = 1 + 2t y = 2 + t z = -1 + 3t
onde é um ponto da reta, é o vetor diretor da reta, e é um parâmetro real.
No nosso caso, o ponto é um ponto da reta e o vetor é o vetor diretor. Portanto, as equações paramétricas da reta são:

Passo 3

Agora, queremos que o ponto 5 = 1 + 2t m = 2 + t n = -1 + 3t esteja na reta . Isso significa que as coordenadas de devem satisfazer as equações paramétricas da reta para algum valor de .
Vamos igualar as coordenadas de às equações da reta:

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação para encontrar o valor de 5 = 1 + 2t Rightarrow 5 - 1 = 2t Rightarrow 4 = 2t Rightarrow t = 2 :

Passo 5

Agora que sabemos que m = 2 + t m = 2 + 2 m = 4 , podemos usar esse valor na segunda equação para encontrar :

Passo 6

Com o valor de n = -1 + 3t n = -1 + 3 times 2 n = -1 + 6 n = 5 encontrado, podemos também determinar usando a terceira equação, se necessário:

Resposta

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