Seja
. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de
.
e
, ou seja,
é o conjunto de todos os polinômios de potências pares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta o conjunto
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau até
com coeficientes reais. Nós precisamos verificar se o subconjunto
, formado por polinômios que possuem apenas termos de potências pares (como
etc.), é um subespaço de
. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear sobre subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se:
- Contém o vetor zero: ou seja, o polinômio zero pertence a
. - É fechado sob adição: se
e estão em , então também está em . - É fechado sob multiplicação por escalar: se
está em e é um número real, então também está em .
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é o polinômio
. Esse polinômio pode ser escrito como
, ou seja, todos os coeficientes são zero e, portanto, pertence a
.
Conclusão:
contém o vetor zero.
Passo 4
2. Verificando se
é fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em
:
A soma desses polinômios é:
Perceba que todos os termos de
são de potências pares. Portanto,
também pertence a
.
Conclusão:
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio qualquer em
:
E um escalar
em
. A multiplicação desse polinômio por
é:
Note que cada termo ainda é de uma potência par, já que a multiplicação por
não altera os expoentes. Assim,
pertence a
.
Conclusão:
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.