Seja V=Pn(R), n >= 2. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V.
W=p(x) in V: p(x)=a0+a2 x^2+cdots+a2 k x^2 k e 2 k <= n, ou seja, W é o conjunto de todos os polinômios de potências pares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta o conjunto , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até com coeficientes reais. Nós precisamos verificar se o subconjunto , formado por polinômios que possuem apenas termos de potências pares (como etc.), é um subespaço de . Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear sobre subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
  1. Contém o vetor zero: ou seja, o polinômio zero pertence a .
  2. É fechado sob adição: se e estão em , então também está em .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: se está em e é um número real, então também está em .
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em :
O vetor zero em é o polinômio . Esse polinômio pode ser escrito como , ou seja, todos os coeficientes são zero e, portanto, pertence a .
Conclusão: contém o vetor zero.

Passo 4

2. Verificando se p(x) = a0 + a2x^2 + a4x^4 + cdots + a2kx^2k é fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em q(x) = b0 + b2x^2 + b4x^4 + cdots + b2kx^2k :
p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a2 + b2)x^2 + (a4 + b4)x^4 + cdots + (a2k + b2k)x^2k
A soma desses polinômios é:
Perceba que todos os termos de são de potências pares. Portanto, também pertence a .
Conclusão: é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando se p(x) = a0 + a2x^2 + a4x^4 + cdots + a2kx^2k é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio qualquer em c cdot p(x) = c cdot a0 + c cdot a2x^2 + c cdot a4x^4 + cdots + c cdot a2kx^2k :
E um escalar em . A multiplicação desse polinômio por é:
Note que cada termo ainda é de uma potência par, já que a multiplicação por não altera os expoentes. Assim, pertence a .
Conclusão: é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .

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