Calcule, caso exista.
b) lim x 1 f(x)-f(1)x-1 onde f(x)=cx^2 se x <= 1 2 x-1 se x>1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite
limx 1 f(x) - f(1)x - 1
onde a função é definida de forma diferente para e para . Esse tipo de limite está relacionado com o conceito de derivada em Cálculo, ou seja, estamos tentando encontrar a derivada de no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de f(1) = 1^2 = 1 . Como , usamos a primeira parte da definição da função:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando limx to 1^- x^2 - 1x - 1 se aproxima de 1 pela esquerda ( ). Nesse caso, , então usamos a expressão :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão no limite à esquerda:
x^2 - 1x - 1 = (x - 1)(x + 1)x - 1 = x + 1 para x neq 1
Então, o limite à esquerda fica:
limx to 1^- (x + 1) = 2

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limx to 1^+ 2x - 1 - 1x - 1 = limx to 1^+ 2x - 2x - 1 = limx to 1^+ 2(x - 1)x - 1 = 2 se aproxima de 1 pela direita ( ). Nesse caso, , então usamos a expressão :

Passo 6

Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e ambos valem 2, o limite total existe e também é igual a 2.

Resposta

O limite é igual a .

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(1,0) Determine se os limites abaixo existem ou não. lim (x, y) (1,1) x^2-y xx^2-y^2.
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2,0 Seja f: R^2 -> R uma função definida por
f(x, y) = { 3 x^2 y / (x^2 + y^2) ; (x, y) ≠ (0,0) ; a ; (x, y) = (0,0) }
Existe a in R tal que a função f seja contínua em R^2 ? Em caso afirmativo, determine o valor de a.