Determine se o limite de cada uma das sequências abaixo existe ou não. No caso de existência, determine o limite da sequência.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se o limite da sequência
existe ou não. A gente vai trabalhar com o conceito de limite de sequências, que é uma parte importante do cálculo. Vamos precisar entender como os termos da sequência se comportam conforme
aumenta e ver se eles se aproximam de algum número específico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte
. Conforme
fica bem grande,
domina sobre o
, então essa fração se comporta como
. Nesse caso, sabemos que
tende a 0 quando
vai para o infinito.
Passo 3
Agora, observe que temos o termo
multiplicando
. Esse
faz a sequência alternar entre positivo e negativo conforme
aumenta. Então, para valores pares de
,
, e para ímpares,
.
Passo 4
Juntando as duas partes, a sequência
vai alternar entre valores positivos e negativos que estão se aproximando de 0. Isso porque
tende a 0, e o fator
apenas alterna o sinal desses valores próximos a 0.
Passo 5
Para determinar o limite, precisamos verificar se a sequência se aproxima de um único valor à medida que
cresce. Mesmo que os termos estejam alternando, como cada termo está ficando mais próximo de 0, a sequência inteira está se aproximando de 0.
Resposta
O limite da sequência
existe e é igual a 0.