(f)
Passo 1
Então, vamos resolver o exercício que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A gente tem a equação
com as condições iniciais
e
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e essas condições. Para isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
. Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral desse tipo de equação é
, onde
,
e
são constantes. No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, a gente precisa encontrar a equação característica associada. A equação característica é obtida substituindo
por
,
por
e
por 1. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de
:
Passo 5
Com os valores de
encontrados, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais fornecidas.
Passo 6
Vamos aplicar a primeira condição inicial
:
Passo 7
Agora, vamos derivar a solução geral para aplicar a segunda condição inicial
. A derivada de
é:
Aplicando
:
Passo 8
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Multiplicando a segunda equação por 2 para simplificar:
Agora, temos:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Passo 9
Agora, substituímos
na primeira equação:
Resposta
Substituindo
e
na solução geral, temos:
Simplificando: