(f) 4 y'' - y = 0, y(-2) = 1, y'(-2) = -1

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A gente tem a equação com as condições iniciais e . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e essas condições. Para isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos: . Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral desse tipo de equação é , onde , e são constantes. No nosso caso, , e .

Passo 3

Para resolver essa equação, a gente precisa encontrar a equação característica associada. A equação característica é obtida substituindo por , por e por 1. Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de :

Passo 5

Com os valores de encontrados, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais fornecidas.

Passo 6

Vamos aplicar a primeira condição inicial :

Passo 7

Agora, vamos derivar a solução geral para aplicar a segunda condição inicial . A derivada de é:
Aplicando :

Passo 8

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Multiplicando a segunda equação por 2 para simplificar:
Agora, temos:
Subtraindo a segunda equação da primeira:

Passo 9

Agora, substituímos na primeira equação:

Resposta

Substituindo e na solução geral, temos:
Simplificando:

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