Determine se o limite existe ou não:
(k) lim (x, y) (0,0) 1-cos (x y)x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é o limite de uma função de duas variáveis, ou seja, quando se aproxima de . A função que estamos analisando é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a expansão em série de Taylor para a função cosseno. Vamos dar uma olhada nos próximos passos para entender se esse limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando estamos lidando com limites que envolvem funções trigonométricas como o cosseno, uma ferramenta muito útil é a série de Taylor. A expansão de Taylor para cos(z) = 1 - z^22 + z^424 - dots em torno de cos(z) approx 1 - z^22 é:
Isso significa que, para valores de bem pequenos, podemos aproximar por:

Passo 3

No nosso caso, temos cos(xy) approx 1 - (xy)^22 . Substituindo na aproximação de Taylor, temos:
1 - cos(xy) approx (xy)^22
Então, a expressão fica aproximadamente:

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação na nossa função original:
1 - cos(xy)xy approx (xy)^22xy = xy2

Passo 5

Vamos analisar o comportamento de lim(x, y) (0,0) xy2 = 0 quando se aproxima de . Tanto quanto estão se aproximando de zero, então o produto também tende a zero. Portanto:

Passo 6

Como a nossa aproximação mostrou que se comporta como para valores próximos de , e como vimos que tende a zero, podemos concluir que o limite da função original também tende a zero.

Resposta

O limite existe e é igual a .

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