Determine se o limite existe ou não:
(k)
(k)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é o limite de uma função de duas variáveis, ou seja, quando
se aproxima de
. A função que estamos analisando é
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a expansão em série de Taylor para a função cosseno. Vamos dar uma olhada nos próximos passos para entender se esse limite existe.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando estamos lidando com limites que envolvem funções trigonométricas como o cosseno, uma ferramenta muito útil é a série de Taylor. A expansão de Taylor para
em torno de
é:
Isso significa que, para valores de
bem pequenos, podemos aproximar
por:
Passo 3
No nosso caso, temos
. Substituindo na aproximação de Taylor, temos:
Então, a expressão
fica aproximadamente:
Passo 4
Agora, substituímos essa aproximação na nossa função original:
Passo 5
Vamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de
. Tanto
quanto
estão se aproximando de zero, então o produto
também tende a zero. Portanto:
Passo 6
Como a nossa aproximação mostrou que
se comporta como
para valores próximos de
, e como vimos que
tende a zero, podemos concluir que o limite da função original também tende a zero.
Resposta
O limite existe e é igual a
.