Beleza, vamos resolver a primeira integral: . Aqui estamos lidando com uma integral que envolve uma raiz quadrada de um polinômio do segundo grau. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição trigonométrica, que é útil para integrar expressões desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos usar , onde é a função hiperbólica seno. Isso nos ajuda porque .
Passo 3
Com a substituição , derivamos ambos os lados para encontrar . Temos:
Agora, substituímos e na integral original:
Passo 4
Para integrar , usamos a identidade hiperbólica:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, voltamos à variável original . Sabemos que , então . Além disso, .
Passo 6
Substituindo de volta, temos:
Podemos simplificar:
Passo 7
Vamos para a segunda integral: . Aqui temos uma raiz quadrada de uma expressão quadrática com um sinal negativo, o que sugere que podemos usar substituição trigonométrica, especialmente envolvendo senos.
Passo 8
Primeiro, fazemos uma substituição adequada. Observamos que se parece com , que é . Então, vamos usar .
Passo 9
Com , derivamos para encontrar :
Substituindo na integral:
Passo 10
Simplificamos que é igual a . Assumindo que está no intervalo onde , temos:
Passo 11
Usamos a identidade trigonométrica:
Portanto:
Passo 12
Voltando à variável original . Sabemos que , então . Além disso, .
Passo 13
Substituindo de volta, temos:
Passo 14
Agora, vamos resolver a terceira integral: . Essa expressão dentro da raiz também é um polinômio do segundo grau, e vamos precisar usar uma técnica de substituição para facilitar a integração.
Passo 15
Primeiro, observamos que pode ser reescrito para facilitar a substituição. Vamos fatorar o 4:
Agora, fazemos a substituição . Isso nos ajudará a simplificar a expressão dentro da raiz.
Passo 16
Com , derivamos para encontrar :
Substituindo na integral:
Passo 17
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 18
Usamos a identidade hiperbólica novamente:
Portanto:
Passo 19
Voltando à variável original . Sabemos que , então . Além disso, ( \sinh(2u) = 2 \sinh u \cosh u = 2 \cdot \frac{2x}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{1 + \left(\frac{2x}{\sqrt{3}}\right)^2} = \frac{4x}{\sqrt{3}} \sqrt{1 + \frac{4x^2}{3}} = \frac{4x}{\sqrt{3}} \sqrt{\frac{3 + 4x^2}{3}} = \frac{4x \sqrt{3 + 4x^2}}{3}
]