Calcule as seguintes integrais.
(a)
(b)
©

Passo 1

Beleza, vamos resolver a primeira integral: . Aqui estamos lidando com uma integral que envolve uma raiz quadrada de um polinômio do segundo grau. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição trigonométrica, que é útil para integrar expressões desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos usar , onde é a função hiperbólica seno. Isso nos ajuda porque .

Passo 3

Com a substituição , derivamos ambos os lados para encontrar . Temos:
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Para integrar , usamos a identidade hiperbólica:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, voltamos à variável original . Sabemos que , então . Além disso, .

Passo 6

Substituindo de volta, temos:
Podemos simplificar:

Passo 7

Vamos para a segunda integral: . Aqui temos uma raiz quadrada de uma expressão quadrática com um sinal negativo, o que sugere que podemos usar substituição trigonométrica, especialmente envolvendo senos.

Passo 8

Primeiro, fazemos uma substituição adequada. Observamos que se parece com , que é . Então, vamos usar .

Passo 9

Com , derivamos para encontrar :
Substituindo na integral:

Passo 10

Simplificamos que é igual a . Assumindo que está no intervalo onde , temos:

Passo 11

Usamos a identidade trigonométrica:
Portanto:

Passo 12

Voltando à variável original . Sabemos que , então . Além disso, .

Passo 13

Substituindo de volta, temos:

Passo 14

Agora, vamos resolver a terceira integral: . Essa expressão dentro da raiz também é um polinômio do segundo grau, e vamos precisar usar uma técnica de substituição para facilitar a integração.

Passo 15

Primeiro, observamos que pode ser reescrito para facilitar a substituição. Vamos fatorar o 4:
Agora, fazemos a substituição . Isso nos ajudará a simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 16

Com , derivamos para encontrar :
Substituindo na integral:

Passo 17

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 18

Usamos a identidade hiperbólica novamente:
Portanto:

Passo 19

Voltando à variável original . Sabemos que , então . Além disso, ( \sinh(2u) = 2 \sinh u \cosh u = 2 \cdot \frac{2x}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{1 + \left(\frac{2x}{\sqrt{3}}\right)^2} = \frac{4x}{\sqrt{3}} \sqrt{1 + \frac{4x^2}{3}} = \frac{4x}{\sqrt{3}} \sqrt{\frac{3 + 4x^2}{3}} = \frac{4x \sqrt{3 + 4x^2}}{3}
]

Passo 20

Substituindo de volta, temos:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:

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Determine se o limite existe ou não:
(k)
Determine se o limite existe ou não:
(a)
Dado que
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
(a)
(b)
©
(d)
Se para todo , encontre .