Calcule as seguintes integrais.
(a) integral raiz1+x^2 d x
(b) integral raiz1-4 x^2 d x
© integral raiz3+4 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a primeira integral: . Aqui estamos lidando com uma integral que envolve uma raiz quadrada de um polinômio do segundo grau. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição trigonométrica, que é útil para integrar expressões desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos usar , onde é a função hiperbólica seno. Isso nos ajuda porque .

Passo 3

Com a substituição dx = cosh u , du , derivamos ambos os lados para encontrar integral raiz1 + x^2 , dx = integral cosh u cdot cosh u , du = integral cosh^2 u , du . Temos:
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Para integrar cosh^2 u = 1 + cosh(2u)2 , usamos a identidade hiperbólica:
integral 1 + cosh(2u)2 , du = u2 + sinh(2u)4 + C
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, voltamos à variável original . Sabemos que , então . Além disso, .

Passo 6

Substituindo de volta, temos:
sinh^-1(x)2 + 2x raiz1 + x^24 + C = sinh^-1(x)2 + x raiz1 + x^22 + C
Podemos simplificar:
12 sinh^-1(x) + 12 x raiz1 + x^2 + C

Passo 7

Vamos para a segunda integral: . Aqui temos uma raiz quadrada de uma expressão quadrática com um sinal negativo, o que sugere que podemos usar substituição trigonométrica, especialmente envolvendo senos.

Passo 8

Primeiro, fazemos uma substituição adequada. Observamos que se parece com , que é . Então, vamos usar .

Passo 9

Com dx = 12 cos theta , dtheta , derivamos para encontrar integral raiz1 - 4x^2 , dx = integral raiz1 - 4(12 sin theta)^2 cdot 12 cos theta , dtheta = integral raiz1 - sin^2 theta cdot 12 cos theta , dtheta :
Substituindo na integral:

Passo 10

Simplificamos integral cos theta cdot 12 cos theta , dtheta = 12 integral cos^2 theta , dtheta que é igual a . Assumindo que está no intervalo onde , temos:

Passo 11

Usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 theta = 1 + cos(2theta)2
Portanto:
12 integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 14 integral (1 + cos(2theta)) , dtheta = 14 ( theta + sin(2theta)2 ) + C

Passo 12

Voltando à variável original . Sabemos que , então . Além disso, .

Passo 13

Substituindo de volta, temos:
14 arcsin(2x) + 14 cdot 4x raiz1 - 4x^22 + C = 14 arcsin(2x) + x raiz1 - 4x^22 + C

Passo 14

Agora, vamos resolver a terceira integral: . Essa expressão dentro da raiz também é um polinômio do segundo grau, e vamos precisar usar uma técnica de substituição para facilitar a integração.

Passo 15

Primeiro, observamos que 3 + 4x^2 = 4x^2 + 3 = 4(x^2 + 34) pode ser reescrito para facilitar a substituição. Vamos fatorar o 4:
Agora, fazemos a substituição . Isso nos ajudará a simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 16

Com dx = raiz32 cosh u , du , derivamos para encontrar integral raiz3 + 4x^2 , dx = integral raiz3 + 4(raiz32 sinh u)^2 cdot raiz32 cosh u , du :
Substituindo na integral:

Passo 17

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
3 + 4(34 sinh^2 u) = 3 + 3 sinh^2 u = 3(1 + sinh^2 u) = 3 cosh^2 u
Então, a integral fica:
integral raiz3 cosh^2 u cdot raiz32 cosh u , du = integral raiz3 cosh u cdot raiz32 cosh u , du = 32 integral cosh^2 u , du

Passo 18

Usamos a identidade hiperbólica novamente:
cosh^2 u = 1 + cosh(2u)2
Portanto:
32 integral 1 + cosh(2u)2 , du = 34 integral (1 + cosh(2u)) , du = 34 ( u + sinh(2u)2 ) + C

Passo 19

Voltando à variável original . Sabemos que , então . Além disso, ( \sinh(2u) = 2 \sinh u \cosh u = 2 \cdot \frac{2x}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{1 + \left(\frac{2x}{\sqrt{3}}\right)^2} = \frac{4x}{\sqrt{3}} \sqrt{1 + \frac{4x^2}{3}} = \frac{4x}{\sqrt{3}} \sqrt{\frac{3 + 4x^2}{3}} = \frac{4x \sqrt{3 + 4x^2}}{3}
]

Passo 20

Substituindo de volta, temos:
34 sinh^-1(2xraiz3) + 34 cdot 4x raiz3 + 4x^26 + C = 34 sinh^-1(2xraiz3) + 2x raiz3 + 4x^24 + C
Simplificando:
34 sinh^-1(2xraiz3) + x raiz3 + 4x^22 + C

Resposta

A integral 34 sinh^-1(2xraiz3) + 12 x raiz3 + 4x^2 + C é igual a:

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