Determine se o limite existe ou não:
(h)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se o limite
existe ou não. Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, então vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e propriedades de limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador usando uma identidade trigonométrica básica. Sabemos que:
Aplicando isso ao nosso caso, onde , temos:
Agora, nossa expressão do limite fica assim:

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para deixar a expressão mais simples. Vamos chamar . Quando se aproxima de , também se aproxima de . Assim, o limite fica:

Passo 4

Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante dos limites trigonométricos:
Podemos reescrever a nossa expressão usando essa propriedade:

Passo 5

Vamos calcular o limite agora:

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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Determine se o limite existe ou não:
(b)
Suponha um mundo com dois países: Brasil e Estados Unidos. Suponha ainda que para a economia brasileira o nível de consumo seja dado por , as receitas tributárias por , as importações por . Os investimentos são iguais a , os gastos do governo alcançam o montante de e as transferências governamentais às famílias são iguais a $10. As exportações são uma função Ya, onde Ya representa a renda dos Estados Unidos: Qual o nível de renda brasileira quando a renda dos Estados Unidos for igual a $ 1000?
Por definição, a propensão marginal a consumir: é o coeficiente de comportamento b na equação C = Co + bYd;