Determine se o limite existe ou não:
(h) lim (x, y) (0,0) 1-cos ^2(x^2+y^2)x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se o limite
lim(x, y) (0,0) 1 - cos^2(x^2 + y^2)x^2 + y^2
existe ou não. Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, então vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e propriedades de limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador usando uma identidade trigonométrica básica. Sabemos que:
1 - cos^2 t = sin^2 t
Aplicando isso ao nosso caso, onde 1 - cos^2(x^2 + y^2) = sin^2(x^2 + y^2) , temos:
lim(x, y) (0,0) sin^2(x^2 + y^2)x^2 + y^2
Agora, nossa expressão do limite fica assim:

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para deixar a expressão mais simples. Vamos chamar limt 0 sin^2 tt . Quando se aproxima de , também se aproxima de . Assim, o limite fica:

Passo 4

Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante dos limites trigonométricos:
limt 0 sin tt = 1
Podemos reescrever a nossa expressão usando essa propriedade:
sin^2 tt = t cdot (sin tt)^2

Passo 5

Vamos calcular o limite agora:
limt 0 t cdot (sin tt)^2 = limt 0 t cdot 1^2 = limt 0 t = 0

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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