Determine se o limite existe ou não:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se o limite existe ou não para a função
quando
se aproxima de
. A matéria envolvida aqui é limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como avaliar limites em várias direções e garantir que o resultado seja o mesmo independentemente do caminho que a gente escolhe para se aproximar do ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando
se aproxima de
.
-
Numerador:
- Quando
e , temos:
- Quando
-
Denominador:
- Quando
e , temos:
- Quando
Passo 3
Agora, a gente tem a função
se aproximando de
quando
. Isso sugere que o limite pode ser
. Mas precisamos ter certeza de que esse valor é o mesmo independente de como a gente se aproxima do ponto
.
Como boa prática, vamos verificar o limite por diferentes caminhos para confirmar.
Passo 4
Primeiro caminho: Vamos aproximar o ponto
ao longo da linha
.
- Substituindo
na função:
- Calculando o limite quando
:
Segundo caminho: Vamos aproximar ao longo da linha
.
- Substituindo
na função:
- Calculando o limite quando
:
Passo 5
Como os limites ao longo de diferentes caminhos resultaram no mesmo valor
, podemos concluir que o limite da função
quando
realmente existe e é igual a
.
Resposta
O limite existe e é igual a
.