Determine se o limite existe ou não:
(b) lim (x, y) (-1,2) x y^3x+y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se o limite existe ou não para a função quando se aproxima de . A matéria envolvida aqui é limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como avaliar limites em várias direções e garantir que o resultado seja o mesmo independentemente do caminho que a gente escolhe para se aproximar do ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando x y^3 (-1) times (2)^3 = -1 times 8 = -8 se aproxima de x + y -1 + 2 = 1 .
  • Numerador:
    • Quando e , temos:
  • Denominador:
    • Quando e , temos:

Passo 3

Agora, a gente tem a função se aproximando de quando . Isso sugere que o limite pode ser . Mas precisamos ter certeza de que esse valor é o mesmo independente de como a gente se aproxima do ponto .
Como boa prática, vamos verificar o limite por diferentes caminhos para confirmar.

Passo 4

Primeiro caminho: Vamos aproximar o ponto x (2)^3x + 2 = 8xx + 2 ao longo da linha 8 times (-1)-1 + 2 = -81 = -8 .
  • Substituindo (-1) y^3-1 + y = -y^3y - 1 na função:
-(2)^32 - 1 = -81 = -8
  • Calculando o limite quando :
Segundo caminho: Vamos aproximar ao longo da linha .
  • Substituindo na função:
  • Calculando o limite quando :

Passo 5

Como os limites ao longo de diferentes caminhos resultaram no mesmo valor , podemos concluir que o limite da função quando realmente existe e é igual a .

Resposta

O limite existe e é igual a .

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