Determine se o limite existe ou não:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se o limite existe ou não para a função quando se aproxima de . A matéria envolvida aqui é limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como avaliar limites em várias direções e garantir que o resultado seja o mesmo independentemente do caminho que a gente escolhe para se aproximar do ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando se aproxima de .
  • Numerador:
    • Quando e , temos:
  • Denominador:
    • Quando e , temos:

Passo 3

Agora, a gente tem a função se aproximando de quando . Isso sugere que o limite pode ser . Mas precisamos ter certeza de que esse valor é o mesmo independente de como a gente se aproxima do ponto .
Como boa prática, vamos verificar o limite por diferentes caminhos para confirmar.

Passo 4

Primeiro caminho: Vamos aproximar o ponto ao longo da linha .
  • Substituindo na função:
  • Calculando o limite quando :
Segundo caminho: Vamos aproximar ao longo da linha .
  • Substituindo na função:
  • Calculando o limite quando :

Passo 5

Como os limites ao longo de diferentes caminhos resultaram no mesmo valor , podemos concluir que o limite da função quando realmente existe e é igual a .

Resposta

O limite existe e é igual a .

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Determine se o limite existe ou não:
(h)