Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe exibindo caminhos que levam a limites diferentes ou para os quais o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x y+y+2 x^2x^2+y^4

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa encontrar o limite da função x y + y + 2 x^2x^2 + y^4 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Esse tipo de problema faz parte do estudo de limites em cálculo multivariável, onde analisamos o comportamento de funções com mais de uma variável à medida que nos aproximamos de um ponto específico. Para resolver isso, vamos verificar se o limite existe ao abordar o ponto (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite ao aproximar pelo eixo x, ou seja, quando y = 0. Substituindo y por 0 na função, temos:
x cdot 0 + 0 + 2 x^2x^2 + 0^4 = 2x^2x^2 = 2
À medida que x se aproxima de 0, o limite dessa expressão é 2.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece ao aproximar pelo eixo y, ou seja, quando x = 0. Substituindo x por 0, a função fica:
0 cdot y + y + 2 cdot 0^20^2 + y^4 = yy^4 = 1y^3
Aqui, conforme y se aproxima de 0, 1y^3 tende a infinito. Isso significa que o limite ao longo desse caminho não é um número finito.

Passo 4

Como vimos, ao nos aproximarmos de (0,0) pelo eixo x, o limite é 2, e pelo eixo y, o limite tende a infinito. Para um limite existir em múltiplas variáveis, ele precisa ter o mesmo valor independente do caminho seguido para se aproximar do ponto.

Resposta

O limite não existe, já que ao se aproximar de (0,0) por diferentes caminhos obtemos resultados distintos.

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