Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe exibindo caminhos que levam a limites diferentes ou para os quais o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de limites em cálculo multivariável, onde analisamos o comportamento de funções com mais de uma variável à medida que nos aproximamos de um ponto específico. Para resolver isso, vamos verificar se o limite existe ao abordar o ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite ao aproximar pelo eixo x, ou seja, quando
. Substituindo
por
na função, temos:
À medida que
se aproxima de
, o limite dessa expressão é
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece ao aproximar pelo eixo y, ou seja, quando
. Substituindo
por
, a função fica:
Aqui, conforme
se aproxima de
,
tende a infinito. Isso significa que o limite ao longo desse caminho não é um número finito.
Passo 4
Como vimos, ao nos aproximarmos de
pelo eixo x, o limite é
, e pelo eixo y, o limite tende a infinito. Para um limite existir em múltiplas variáveis, ele precisa ter o mesmo valor independente do caminho seguido para se aproximar do ponto.
Resposta
O limite não existe, já que ao se aproximar de
por diferentes caminhos obtemos resultados distintos.
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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe exibindo caminhos que levam a limites diferentes ou para os quais o limite não existe.
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