Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe exibindo caminhos que levam a limites diferentes ou para os quais o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x yx-y

Passo 1

Olá! Vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, e , quando ambos se aproximam de zero. O que precisamos entender aqui são limites em funções de duas variáveis e verificar se, independentemente do caminho que escolhemos para chegar em , o resultado do limite é sempre o mesmo. Se conseguirmos mostrar caminhos diferentes que dão resultados diferentes, então o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar nos aproximar de f(x,0) = x cdot 0x - 0 = 0x = 0 pelo eixo . Isso significa que fixamos e deixamos ir para zero. Substituindo na função temos:
Então, pelo eixo , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos nos aproximar pelo eixo f(0,y) = 0 cdot y0 - y = 0-y = 0 . Fixamos e deixamos ir para zero:
Pelo eixo , o limite também é 0.

Passo 4

Até aqui tudo bem, mas precisamos verificar outros caminhos para garantir que o limite é realmente 0 ou se depende do caminho escolhido. Vamos tentar o caminho onde f(x,x) = x cdot xx - x = x^20 . Substituindo:
Aqui temos uma divisão por zero, o que significa que a função não está definida nesse caminho. Isso já é um sinal de que o limite pode não existir, mas vamos testar mais um caminho para confirmar.

Passo 5

Vamos escolher um caminho diferente, por exemplo, f(x,2x) = x cdot 2xx - 2x = 2x^2-x = -2x . Substituindo na função:
limx to 0 -2x = 0
Ao deixar ir para zero, o limite desse caminho é:
Então, pelo caminho , o limite também é 0.

Passo 6

Percebi que, ao escolher , a função não estava definida, indicando um comportamento problemático diferente dos outros caminhos que testamos e que levaram a 0. Isso sugere que o limite pode depender do caminho escolhido.

Resposta

Como ao nos aproximarmos pelo caminho a função não está definida, enquanto por outros caminhos o limite é 0, concluímos que o limite não existe.

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Determine a função composta f(x, y) = g(h(x, y)) e o conjunto no qual f é contínua.
g(z) = z + ln(z), h(x, y) = (1 - x * y) / (1 + x^2 * y^2)
Seja f(x, y) = { 0 se y <= 0 ou y >= x^2; 1 se 0 < y < x^2 }
Apesar disso, mostre que f é descontínua em (0,0).