Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe exibindo caminhos que levam a limites diferentes ou para os quais o limite não existe.
Passo 1
Olá! Vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis,
e
, quando ambos se aproximam de zero. O que precisamos entender aqui são limites em funções de duas variáveis e verificar se, independentemente do caminho que escolhemos para chegar em
, o resultado do limite é sempre o mesmo. Se conseguirmos mostrar caminhos diferentes que dão resultados diferentes, então o limite não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar nos aproximar de
pelo eixo
. Isso significa que fixamos
e deixamos
ir para zero. Substituindo na função temos:
Então, pelo eixo
, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos nos aproximar pelo eixo
. Fixamos
e deixamos
ir para zero:
Pelo eixo
, o limite também é 0.
Passo 4
Até aqui tudo bem, mas precisamos verificar outros caminhos para garantir que o limite é realmente 0 ou se depende do caminho escolhido. Vamos tentar o caminho onde
. Substituindo:
Aqui temos uma divisão por zero, o que significa que a função não está definida nesse caminho. Isso já é um sinal de que o limite pode não existir, mas vamos testar mais um caminho para confirmar.
Passo 5
Vamos escolher um caminho diferente, por exemplo,
. Substituindo na função:
Ao deixar
ir para zero, o limite desse caminho é:
Então, pelo caminho
, o limite também é 0.
Passo 6
Percebi que, ao escolher
, a função não estava definida, indicando um comportamento problemático diferente dos outros caminhos que testamos e que levaram a 0. Isso sugere que o limite pode depender do caminho escolhido.
Resposta
Como ao nos aproximarmos pelo caminho
a função não está definida, enquanto por outros caminhos o limite é 0, concluímos que o limite não existe.
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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe exibindo caminhos que levam a limites diferentes ou para os quais o limite não existe.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe exibindo caminhos que levam a limites diferentes ou para os quais o limite não existe.
Determine a função composta
e o conjunto no qual
é contínua.
Seja
Apesar disso, mostre que é descontínua em
.
Apesar disso, mostre que