Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) e^x^2 y-1y^3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos encontrar o limite da função quando se aproxima de . Isso está relacionado ao cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre exponenciais e como analisar limites em múltiplas direções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com o numerador e o denominador quando e^x^2 y approx 1 + x^2 y + (x^2 y)^22 se aproximam de . Quando e são próximos de zero:
  • também será próximo de zero.
  • A função exponencial pode ser aproximada usando a série de Taylor: para perto de zero.
Então, substituindo , temos:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa aproximação na expressão original:
e^x^2 y - 1y^3 approx 1 + x^2 y + (x^2 y)^22 - 1y^3 = x^2 y + x^4 y^22y^3
Simplificando:
= x^2 yy^3 + x^4 y^22 y^3 = x^2y^2 + x^42 y

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece com cada termo quando :
  1. : Depende de como e se aproximam de zero. Se , então . Se , então , que tende a 0.
  2. : Novamente, depende da trajetória. Se , então . Se , então .

Passo 5

Como o primeiro termo pode assumir valores diferentes dependendo da trajetória seguida para , isso indica que o limite pode depender da direção pela qual nos aproximamos do ponto . Se o limite existisse, deveria ser o mesmo para todas as trajetórias, o que não é o caso aqui.

Resposta

O limite não existe.

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