Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está relacionado ao cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre exponenciais e como analisar limites em múltiplas direções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproximam de
. Quando
e
são próximos de zero:
-
também será próximo de zero. - A função exponencial
pode ser aproximada usando a série de Taylor: para perto de zero.
Então, substituindo
, temos:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa aproximação na expressão original:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece com cada termo quando
:
-
: Depende de como e se aproximam de zero. Se , então . Se , então , que tende a 0. -
: Novamente, depende da trajetória. Se , então . Se , então .
Passo 5
Como o primeiro termo
pode assumir valores diferentes dependendo da trajetória seguida para
, isso indica que o limite pode depender da direção pela qual nos aproximamos do ponto
. Se o limite existisse, deveria ser o mesmo para todas as trajetórias, o que não é o caso aqui.
Resposta
O limite não existe.
Exercícios relacionados
Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(g)
(g)
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(e)
(e)
Encontre uma solução particular para as equações:
;
Encontre uma solução particular para as equações:
.