Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos encontrar o limite da função quando se aproxima de . Isso está relacionado ao cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre exponenciais e como analisar limites em múltiplas direções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproximam de . Quando e são próximos de zero:
  • também será próximo de zero.
  • A função exponencial pode ser aproximada usando a série de Taylor: para perto de zero.
Então, substituindo , temos:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa aproximação na expressão original:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece com cada termo quando :
  1. : Depende de como e se aproximam de zero. Se , então . Se , então , que tende a 0.
  2. : Novamente, depende da trajetória. Se , então . Se , então .

Passo 5

Como o primeiro termo pode assumir valores diferentes dependendo da trajetória seguida para , isso indica que o limite pode depender da direção pela qual nos aproximamos do ponto . Se o limite existisse, deveria ser o mesmo para todas as trajetórias, o que não é o caso aqui.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados

Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(g)
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(e)
Encontre uma solução particular para as equações:
;
Encontre uma solução particular para as equações:
.