Encontre uma solução particular para as equações:
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
O objetivo aqui é encontrar uma solução particular para essa equação. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para resolver uma equação diferencial não homogênea como essa, a solução geral é a soma da solução da equação homogênea (solução complementar) mais uma solução particular. Mas aqui, nosso foco é só na solução particular.
Como o lado direito da equação é um polinômio (
), a gente pode supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau. Então, vamos propor:
Onde A, B e C são constantes que a gente precisa descobrir.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Vamos substituir
e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Termo de
:
Termo de
:
Termo constante:
Então, temos:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Para
:
Para
:
Substituindo
Para o termo constante:
Substituindo
Resposta
Então, a solução particular é:
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(g)
(g)
Encontre uma solução particular para as equações:
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Determine a solução dos seguintes PVI:
(f)
(f)