Encontre uma solução particular para as equações:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com termos não homogêneos. Para encontrar uma solução particular, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que nos ajuda a encontrar soluções específicas para os termos do lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a solução complementar da equação homogênea associada, que é
. Essa solução é necessária porque a solução geral será a soma da solução complementar e da solução particular.
Resolvendo a equação característica:
As raízes são
e
.
Então, a solução complementar é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução particular para os termos do lado direito da equação:
. Vamos tratar cada termo separadamente.
Para
:
- Notamos que
já está presente na solução complementar. Quando isso acontece, precisamos multiplicar nosso palpite por para evitar duplicidade.
Então, vamos assumir:
onde
é uma constante a ser determinada.
Para
:
- Não há termos semelhantes na solução complementar, então podemos assumir:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 4
Vamos agora calcular as derivadas necessárias e substituir na equação original para encontrar os valores de
,
e
.
Primeiro, para
:
Substituindo na equação:
Igualando ao termo correspondente:
Então:
Agora, para
:
Substituindo na equação:
Igualando aos termos correspondentes:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então,
Passo 5
Agora temos todas as constantes definidas. Podemos escrever a solução particular completa:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Encontre uma solução particular para as equações:
;
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Determine a solução dos seguintes PVI:
(f)
(f)
Nos itens a seguir determine quais das equações são homogêneas e, em caso afirmativo, determine sua solução:
(e)
(e)