Encontre uma solução particular para as equações:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com termos não homogêneos. Para encontrar uma solução particular, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que nos ajuda a encontrar soluções específicas para os termos do lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a solução complementar da equação homogênea associada, que é . Essa solução é necessária porque a solução geral será a soma da solução complementar e da solução particular.
Resolvendo a equação característica:
As raízes são e .
Então, a solução complementar é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução particular para os termos do lado direito da equação: . Vamos tratar cada termo separadamente.
Para :
  • Notamos que já está presente na solução complementar. Quando isso acontece, precisamos multiplicar nosso palpite por para evitar duplicidade.
Então, vamos assumir:
onde é uma constante a ser determinada.
Para :
  • Não há termos semelhantes na solução complementar, então podemos assumir:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 4

Vamos agora calcular as derivadas necessárias e substituir na equação original para encontrar os valores de , e .
Primeiro, para :
Substituindo na equação:
Igualando ao termo correspondente:
Então:
Agora, para :
Substituindo na equação:
Igualando aos termos correspondentes:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então,

Passo 5

Agora temos todas as constantes definidas. Podemos escrever a solução particular completa:

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Encontre uma solução particular para as equações:
;
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Determine a solução dos seguintes PVI:
(f)
Nos itens a seguir determine quais das equações são homogêneas e, em caso afirmativo, determine sua solução:
(e)