Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (1,0) ln (1+y^2x^2+x y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite da função ln (1+y^2x^2+x y) quando (x, y) se aproxima de (1,0). Isso está relacionado ao cálculo de limites em funções de duas variáveis, onde analisamos o comportamento da função à medida que os pontos se aproximam de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites, propriedades dos logaritmos e análise de comportamento das funções próximas do ponto de interesse.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função está fazendo. Temos uma expressão dentro do logaritmo: 1 + y^2x^2 + x y. Nosso objetivo é ver o que essa fração se aproxima quando (x, y) chega perto de (1,0). Depois disso, vamos aplicar o logaritmo natural para encontrar o limite final.

Passo 3

Vamos avaliar a fração no ponto (1,0). Substituindo x = 1 e y = 0 na expressão:
1 + 0^21^2 + 1 times 0 = 11 = 1
Então, a expressão dentro do logaritmo se aproxima de 1 quando (x, y) (1,0).

Passo 4

Agora, vamos lembrar que ln(1) = 0. Isso significa que, se a expressão dentro do logaritmo se aproxima de 1, então o logaritmo dessa expressão se aproxima de 0. Portanto:
lim (x, y) (1,0) ln (1+y^2x^2+x y) = ln(1) = 0

Resposta

O limite é 0.

Exercícios relacionados

Utilize um gráfico feito por computador para explicar por que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x y^3x^2+y^6
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (1,0) x y-y(x-1)^2+y^2
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (0,0,0) y zx^2+4 y^2+9 z^2
Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilize a fórmula para explicar o que você observou.
f(x, y) = e^(1 / (x - y))