Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está relacionado ao cálculo de limites em funções de duas variáveis, onde analisamos o comportamento da função à medida que os pontos se aproximam de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites, propriedades dos logaritmos e análise de comportamento das funções próximas do ponto de interesse.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função está fazendo. Temos uma expressão dentro do logaritmo:
. Nosso objetivo é ver o que essa fração se aproxima quando
chega perto de
. Depois disso, vamos aplicar o logaritmo natural para encontrar o limite final.
Passo 3
Vamos avaliar a fração no ponto
. Substituindo
e
na expressão:
Então, a expressão dentro do logaritmo se aproxima de
quando
.
Passo 4
Agora, vamos lembrar que
. Isso significa que, se a expressão dentro do logaritmo se aproxima de
, então o logaritmo dessa expressão se aproxima de
. Portanto:
Resposta
O limite é
.
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Utilize um gráfico feito por computador para explicar por que o limite não existe.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilize a fórmula para explicar o que você observou.