Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente precisa calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso envolve conceitos de limites em várias variáveis, então vamos ver o que precisamos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função para facilitar a análise. Observe que no numerador podemos fatorar o termo
:
Passo 3
Agora, para analisar o limite, uma boa estratégia é verificar o comportamento da função ao se aproximar de
por diferentes caminhos. Se obtivermos valores diferentes pelo menos por dois caminhos distintos, isso significa que o limite não existe.
Passo 4
Vamos tentar o primeiro caminho: aproximar-se de
ao longo da linha
. Substituindo
na função:
Então, pelo caminho
, o limite é
.
Passo 5
Agora, vamos tentar outro caminho: aproximar-se de
ao longo da linha
, onde
é uma constante. Substituindo
na fun�o:
À medida que
, o termo
tende a
, mas o valor da expressão depende de
. Por exemplo:
- Se
, o limite é . - Se
, o limite é .
Passo 6
Como obtivemos valores diferentes para o limite ao usar caminhos diferentes (por exemplo,
,
,
, etc.), isso indica que o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de
.
Resposta
O limite não existe porque os resultados variam conforme o caminho de aproximação.
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(a) Mostre que, tomando logaritmos, a função geral de Cobb-Douglas
pode ser expressa como
Utilize um gráfico feito por computador para explicar por que o limite não existe.
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