Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (1,0) x y-y(x-1)^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente precisa calcular o limite da função x y - y(x-1)^2 + y^2 quando (x, y) se aproxima de (1, 0). Isso envolve conceitos de limites em várias variáveis, então vamos ver o que precisamos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função para facilitar a análise. Observe que no numerador podemos fatorar o termo y:
x y - y(x-1)^2 + y^2 = y(x - 1)(x-1)^2 + y^2

Passo 3

Agora, para analisar o limite, uma boa estratégia é verificar o comportamento da função ao se aproximar de (1, 0) por diferentes caminhos. Se obtivermos valores diferentes pelo menos por dois caminhos distintos, isso significa que o limite não existe.

Passo 4

Vamos tentar o primeiro caminho: aproximar-se de (1, 0) ao longo da linha y = 0. Substituindo y = 0 na função:
0 cdot (x - 1)(x-1)^2 + 0^2 = 0
Então, pelo caminho y = 0, o limite é 0.

Passo 5

Agora, vamos tentar outro caminho: aproximar-se de (1, 0) ao longo da linha y = k(x - 1), onde k é uma constante. Substituindo y = k(x - 1) na funç��o:
k(x - 1)(x - 1)(x-1)^2 + [k(x - 1)]^2 = k(x - 1)^2(x-1)^2(1 + k^2) = k1 + k^2
À medida que (x, y) (1, 0), o termo (x - 1) tende a 0, mas o valor da expressão depende de k. Por exemplo:
  • Se k = 1, o limite é 12.
  • Se k = 2, o limite é 25.

Passo 6

Como obtivemos valores diferentes para o limite ao usar caminhos diferentes (por exemplo, 0, 12, 25, etc.), isso indica que o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de (1, 0).

Resposta

O limite não existe porque os resultados variam conforme o caminho de aproximação.

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