Utilize um gráfico feito por computador para explicar por que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x y^3x^2+y^6

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício que você trouxe está pedindo para usar um gráfico feito por computador para explicar por que o limite
lim (x, y) (0,0) x y^3x^2+y^6
não existe. Isso está relacionado ao conteúdo de limites em funções de várias variáveis, onde precisamos verificar se o resultado do limite é o mesmo independente de como nos aproximamos do ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar limites em diferentes caminhos e usar gráficos para visualizar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular um limite em várias variáveis. Diferente das funções de uma variável, onde você se aproxima do ponto pela esquerda ou direita, em funções de duas variáveis você pode se aproximar por infinitas direções diferentes. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, então o limite existe; caso contrário, ele não existe.

Passo 3

Para este exercício, vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximarmos de x cdot 0^3x^2 + 0^6 = 0x^2 = 0 e ver se obtemos o mesmo valor para o limite.
Caminho 1: Quando y^3 cdot y^3(y^3)^2 + y^6 = y^6y^6 + y^6 = y^62y^6 = 12
Substituindo na função:
Então, ao se aproximar de ao longo do eixo ( ), o limite é 0.
Caminho 2: Quando
Agora, vamos substituir na função:
Então, ao se aproximar de ao longo da curva , o limite é .

Passo 4

Observamos que, dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar de , o limite da função dá resultados diferentes: 0 pelo eixo e pela curva . Isso indica que o limite não está se comportando de maneira consistente em todas as direções ao redor de .
Além disso, se plotarmos o gráfico da função usando um software de computador, veremos que a superfície da função se comporta de forma que as aproximações por diferentes caminhos realmente resultam em valores distintos, confirmando visualmente que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe porque ao se aproximar de por caminhos diferentes, obtemos resultados distintos.

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