Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para determinar o limite da função
quando o ponto
se aproxima de
. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, e para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como os limites funcionam nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente os valores de
e
no ponto para ver se conseguimos encontrar o limite. Isso significa substituir
e
na função.
Passo 3
Substituindo na função, temos:
Então, a substituição direta nos dá
.
Passo 4
Mas, como estamos lidando com duas variáveis, precisamos garantir que o limite seja o mesmo independente do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto
. Para isso, podemos verificar alguns caminhos diferentes e ver se o limite permanece constante.
Passo 5
Vamos considerar dois caminhos simples:
-
Caminho 1:
e .
Substituindo, temos:Quando, isso se torna . -
Caminho 2:
e .
Substituindo, temos:Quando, isso também se torna .
Passo 6
Como os limites são iguais para esses dois caminhos diferentes, isso sugere que o limite existe e é igual a
. Para ter certeza completa, geralmente verificaríamos mais caminhos, mas para fins deste exercício, podemos concluir que o limite é
.
Resposta
Exercícios relacionados
(a) Mostre que, tomando logaritmos, a função geral de Cobb-Douglas
pode ser expressa como
Use um computador para investigar a família de superfícies
. Em particular, você deve determinar os valores de transição de
para os quais a superfície muda de um tipo de superfície quádrica para outro
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Utilize um gráfico feito por computador para explicar por que o limite não existe.