Use um computador para investigar a família de superfícies
. Em particular, você deve determinar os valores de transição de
para os quais a superfície muda de um tipo de superfície quádrica para outro
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos a superfície dada por
. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de
essa superfície muda de um tipo de superfície quadrática para outro. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear e geometria analítica para classificar a superfície com base nos coeficientes da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de uma forma que facilite a análise. A equação é:
Podemos pensar nisso como uma equação quadrática em
e
, onde os termos
e
têm coeficientes iguais a 1, e o termo cruzado é
.
Passo 3
Para classificar a superfície quadrática, olhamos para o discriminante da parte quadrática da equação. Em geral, para uma equação do tipo:
O discriminante é dado por
.
No nosso caso, temos:
Então,
Passo 4
Agora, vamos analisar o discriminante
:
- Se
, a superfície é um elipsoide. - Se
, a superfície é um paraboloide circular. - Se
, a superfície é um hiperboloide.
Estamos interessados nos valores de
que fazem a transição entre esses tipos de superfície, ou seja, quando
.
Passo 5
Vamos resolver a equação
:
Passo 6
Portanto, os valores de
que fazem a superfície mudar de tipo são
e
. Esses são os pontos de transição onde a superfície passa de elipsoide para paraboloide circular ou para hiperboloide.
Resposta
Os valores de transição de
são
e
.
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