Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está dentro do conteúdo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos verificar se o limite é o mesmo ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos. Se os limites forem diferentes, então o limite geral não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher o caminho onde
. Nesse caso, substituímos
por 0 na função:
Então, ao nos aproximarmos de
pelo eixo
(
), o limite é 1.
Passo 3
Agora, vamos escolher outro caminho diferente, por exemplo,
. Substituindo
por
na função:
Então, ao nos aproximarmos de
pela linha
, o limite é 0.
Passo 4
Como obtivemos limites diferentes dependendo do caminho que escolhemos (
pelo eixo
e
pela linha
), isso significa que o limite geral da função
quando
não existe. Isso acontece porque, para existir, o limite deve ser o mesmo independente do caminho escolhido para se aproximar do ponto.
Resposta
O limite não existe.
Exercícios relacionados
Seja a função
dada por
. Encontre:
Seja
o campo vetorial
.
Mostre que é um campo conservativo.
Mostre que
Podemos afirmar que a função
definida por
é contínua em
? Justifique sua resposta.
Seja
definido em
e sejam
e
as circunferências
, respectivamente, ambas percorridas no sentido antihorário.
Sem mostrar, considere a igualdade verdadeira. Com isso, use o Teorema de Green para obter
.
Sem mostrar, considere a igualdade