Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos o limite da função quando se aproxima de . Isso está dentro do conteúdo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos verificar se o limite é o mesmo ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos. Se os limites forem diferentes, então o limite geral não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o caminho onde . Nesse caso, substituímos por 0 na função:
Então, ao nos aproximarmos de pelo eixo ( ), o limite é 1.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho diferente, por exemplo, . Substituindo por na função:
Então, ao nos aproximarmos de pela linha , o limite é 0.

Passo 4

Como obtivemos limites diferentes dependendo do caminho que escolhemos ( pelo eixo e pela linha ), isso significa que o limite geral da função quando não existe. Isso acontece porque, para existir, o limite deve ser o mesmo independente do caminho escolhido para se aproximar do ponto.

Resposta

O limite não existe.

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Seja a função dada por . Encontre:
Seja o campo vetorial .
Mostre que é um campo conservativo.
Podemos afirmar que a função definida por é contínua em ? Justifique sua resposta.
Seja definido em e sejam e as circunferências , respectivamente, ambas percorridas no sentido antihorário.
Sem mostrar, considere a igualdade verdadeira. Com isso, use o Teorema de Green para obter .