Seja o campo vetorial .
Mostre que é um campo conservativo.

Passo 1

Então, temos que mostrar que o campo vetorial é conservativo. Um campo conservativo é aquele que pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial. Para verificar isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e condições necessárias para que um campo seja conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes do campo vetorial . Temos:
Agora, sabemos que para um campo ser conservativo, as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais, ou seja:

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos calcular :
Como as duas derivadas são iguais ( ), a condição necessária para que o campo seja conservativo é satisfeita.

Passo 4

Como a condição foi atendida, concluímos que o campo vetorial é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial tal que:

Resposta

Portanto, o campo vetorial é conservativo.

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e)
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b)
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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.