Seja F o campo vetorial F(x, y) = y^2 i + (2xy - e^y) j, com (x, y) em R^2.
Mostre que F é um campo conservativo.

Passo 1

Então, temos que mostrar que o campo vetorial é conservativo. Um campo conservativo é aquele que pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial. Para verificar isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e condições necessárias para que um campo seja conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes do campo vetorial F. Temos:
Agora, sabemos que para um campo ser conservativo, as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais, ou seja:

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos calcular :
Como as duas derivadas são iguais ( ), a condição necessária para que o campo seja conservativo é satisfeita.

Passo 4

Como a condição foi atendida, concluímos que o campo vetorial F é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial f(x, y) tal que:

Resposta

Portanto, o campo vetorial é conservativo.

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