Seja
o campo vetorial
.
Mostre que
é um campo conservativo.
Mostre que
Passo 1
Então, temos que mostrar que o campo vetorial
é conservativo. Um campo conservativo é aquele que pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial. Para verificar isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e condições necessárias para que um campo seja conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes do campo vetorial
. Temos:
Agora, sabemos que para um campo ser conservativo, as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais, ou seja:
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, vamos calcular
:
Como as duas derivadas são iguais (
), a condição necessária para que o campo seja conservativo é satisfeita.
Passo 4
Como a condição foi atendida, concluímos que o campo vetorial
é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial
tal que:
Resposta
Portanto, o campo vetorial
é conservativo.
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b)
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Seja a função
dada por
. Encontre:
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.