Seja
definido em
e sejam
e
as circunferências
, respectivamente, ambas percorridas no sentido antihorário.
Sem mostrar, considere a igualdade
verdadeira. Com isso, use o Teorema de Green para obter
.
Sem mostrar, considere a igualdade
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos um campo vetorial
definido em todo o plano menos na origem. Temos duas circunferências,
com equação
e
com equação
, ambas percorridas no sentido antihorário. O objetivo é calcular a integral de linha de
ao longo de
usando o Teorema de Green.
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo a campos vetoriais. O Teorema de Green relaciona uma integral de linha em torno de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Vamos usar essa conexão para simplificar o cálculo da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema de Green. Ele afirma que, para um campo vetorial
suave em uma região simplesmente conexa, temos:
Aqui,
é a curva fechada que delimita a região
. No nosso caso, queremos aplicar isso para a circunferência
.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial
:
Precisamos calcular as derivadas parciais
e
para aplicar o Teorema de Green.
Passo 4
No enunciado, já foi dada a igualdade:
Isso significa que a expressão dentro da integral dupla do Teorema de Green fica:
Passo 5
Substituindo essa igualdade na integral dupla, temos:
Isso implica que a integral de linha ao redor de qualquer curva fechada na região
será zero.
Passo 6
No entanto, temos duas circunferências,
e
. Para aplicar o Teorema de Green corretamente, precisamos considerar que
envolve
, já que
é uma circunferência maior deslocada do centro.
Podemos pensar na região entre
e
, onde o Teorema de Green se aplica. Como a integral em torno de
também deve ser considerada, mas como não foi solicitada, deduzimos que a integral em
é a mesma.
Passo 7
Como a integral dupla resultou em zero, concluímos que a integral de linha ao redor de
também é zero:
Resposta
Portanto, a integral de linha
vale zero.
Exercícios relacionados
Podemos afirmar que a função
definida por
é contínua em
? Justifique sua resposta.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Utilize o teste da integral ou o teste da
-série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
(a)
(a)
Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
a)
a)