Seja definido em e sejam e as circunferências , respectivamente, ambas percorridas no sentido antihorário.
Sem mostrar, considere a igualdade verdadeira. Com isso, use o Teorema de Green para obter .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos um campo vetorial definido em todo o plano menos na origem. Temos duas circunferências, com equação e com equação , ambas percorridas no sentido antihorário. O objetivo é calcular a integral de linha de ao longo de usando o Teorema de Green.
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo a campos vetoriais. O Teorema de Green relaciona uma integral de linha em torno de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Vamos usar essa conexão para simplificar o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema de Green. Ele afirma que, para um campo vetorial suave em uma região simplesmente conexa, temos:
Aqui, é a curva fechada que delimita a região . No nosso caso, queremos aplicar isso para a circunferência .

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo vetorial :
Precisamos calcular as derivadas parciais e para aplicar o Teorema de Green.

Passo 4

No enunciado, já foi dada a igualdade:
Isso significa que a expressão dentro da integral dupla do Teorema de Green fica:

Passo 5

Substituindo essa igualdade na integral dupla, temos:
Isso implica que a integral de linha ao redor de qualquer curva fechada na região será zero.

Passo 6

No entanto, temos duas circunferências, e . Para aplicar o Teorema de Green corretamente, precisamos considerar que envolve , já que é uma circunferência maior deslocada do centro.
Podemos pensar na região entre e , onde o Teorema de Green se aplica. Como a integral em torno de também deve ser considerada, mas como não foi solicitada, deduzimos que a integral em é a mesma.

Passo 7

Como a integral dupla resultou em zero, concluímos que a integral de linha ao redor de também é zero:

Resposta

Portanto, a integral de linha vale zero.

Exercícios relacionados

Podemos afirmar que a função definida por é contínua em ? Justifique sua resposta.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Utilize o teste da integral ou o teste da -série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
(a)
Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
a)