Seja F(x, y)=(-y^3(x^2+y^2)^2, x y^2(x^2+y^2)^2) definido em R^2-(0,0) e sejam alpha1 e alpha2 as circunferências x^2+y^2=1 e(x-1)^2+y^2=4, respectivamente, ambas percorridas no sentido antihorário.
Sem mostrar, considere a igualdade partialpartial x(x y^2(x^2+y^2)^2)=partialpartial y(-y^3(x^2+y^2)^2) verdadeira. Com isso, use o Teorema de Green para obter integralalpha2 F cdot d r.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos um campo vetorial F(x, y)=(-y^3(x^2+y^2)^2, x y^2(x^2+y^2)^2) definido em todo o plano menos na origem. Temos duas circunferências, alpha1 com equação x^2+y^2=1 e alpha2 com equação (x-1)^2+y^2=4, ambas percorridas no sentido antihorário. O objetivo é calcular a integral de linha de F ao longo de alpha2 usando o Teorema de Green.
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo a campos vetoriais. O Teorema de Green relaciona uma integral de linha em torno de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Vamos usar essa conexão para simplificar o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema de Green. Ele afirma que, para um campo vetorial F = (P, Q) suave em uma região simplesmente conexa, temos:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, C é a curva fechada que delimita a região D. No nosso caso, queremos aplicar isso para a circunferência alpha2.

Passo 3

Vamos identificar P e Q no nosso campo vetorial F:
P(x, y) = -y^3(x^2+y^2)^2, Q(x, y) = x y^2(x^2+y^2)^2
Precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y para aplicar o Teorema de Green.

Passo 4

No enunciado, já foi dada a igualdade:
partial Qpartial x = partial Ppartial y
Isso significa que a expressão dentro da integral dupla do Teorema de Green fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0

Passo 5

Substituindo essa igualdade na integral dupla, temos:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = integral duplaD 0 , dA = 0
Isso implica que a integral de linha ao redor de qualquer curva fechada na região D será zero.

Passo 6

No entanto, temos duas circunferências, alpha1 e alpha2. Para aplicar o Teorema de Green corretamente, precisamos considerar que alpha2 envolve alpha1, já que alpha2 é uma circunferência maior deslocada do centro.
Podemos pensar na região entre alpha1 e alpha2, onde o Teorema de Green se aplica. Como a integral em torno de alpha1 também deve ser considerada, mas como não foi solicitada, deduzimos que a integral em alpha2 é a mesma.

Passo 7

Como a integral dupla resultou em zero, concluímos que a integral de linha ao redor de alpha2 também é zero:
integralalpha2 F cdot d r = 0

Resposta

Portanto, a integral de linha integralalpha2 F cdot d r vale zero.

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