Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (-1,-1) 2 x yx^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o limite da função 2xyx^2 + y^2 quando (x, y) se aproxima de (-1, -1). Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, que é um tópico da Análise Multivariada. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto (-1, -1) por diferentes caminhos e ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a análise mudando as variáveis para facilitar os cálculos. Vamos fazer uma substituição: deixemos u = x + 1 e v = y + 1. Assim, quando (x, y) (-1, -1), (u, v) (0, 0). A função original fica:
2xyx^2 + y^2 = 2(u - 1)(v - 1)(u - 1)^2 + (v - 1)^2
Isso pode parecer mais complicado, então vamos seguir outro caminho.

Passo 3

Vamos verificar o limite ao longo de diferentes trajetórias que se aproximam de (-1, -1). Se encontrarmos diferentes valores de limite para trajetórias diferentes, então o limite geral não existe.
Primeira trajetória: Vamos aproximar-nos de (-1, -1) pela linha x = y.
Substituindo x = y na função:
2xyx^2 + y^2 = 2x^22x^2 = 1
Então, ao longo dessa trajetória, o limite é 1.

Passo 4

Segunda trajetória: Agora, vamos nos aproximar de (-1, -1) pela linha x = -y.
Substituindo x = -y na função:
2x(-x)x^2 + (-x)^2 = -2x^22x^2 = -1
Então, ao longo dessa trajetória, o limite é -1.

Passo 5

Observamos que ao escolher diferentes trajetórias, os limites são diferentes: 1 por uma e -1 por outra. Isso indica que o limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos de (-1, -1).

Resposta

Portanto, o limite lim (x, y) (-1,-1) 2 x yx^2+y^2 não existe porque assume valores diferentes dependendo da trajetória escolhida.

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