Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o limite da função quando se aproxima de . Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, que é um tópico da Análise Multivariada. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos e ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a análise mudando as variáveis para facilitar os cálculos. Vamos fazer uma substituição: deixemos e . Assim, quando , . A função original fica:
Isso pode parecer mais complicado, então vamos seguir outro caminho.

Passo 3

Vamos verificar o limite ao longo de diferentes trajetórias que se aproximam de . Se encontrarmos diferentes valores de limite para trajetórias diferentes, então o limite geral não existe.
Primeira trajetória: Vamos aproximar-nos de pela linha .
Substituindo na função:
Então, ao longo dessa trajetória, o limite é .

Passo 4

Segunda trajetória: Agora, vamos nos aproximar de pela linha .
Substituindo na função:
Então, ao longo dessa trajetória, o limite é .

Passo 5

Observamos que ao escolher diferentes trajetórias, os limites são diferentes: por uma e por outra. Isso indica que o limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos de .

Resposta

Portanto, o limite não existe porque assume valores diferentes dependendo da trajetória escolhida.

Exercícios relacionados

Encontre a solução de cada PVI
Encontrar a solução geral das seguintes equações de segunda ordem e determine se as soluções são fundamenntais.
.
Determine o valor de de modo que as funções abaixo sejam contínuas.
(a)
Reescreva as expressões sem usar o símbolo de valor absoluto: