Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, que é um tópico da Análise Multivariada. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos e ver se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a análise mudando as variáveis para facilitar os cálculos. Vamos fazer uma substituição: deixemos
e
. Assim, quando
,
. A função original fica:
Isso pode parecer mais complicado, então vamos seguir outro caminho.
Passo 3
Vamos verificar o limite ao longo de diferentes trajetórias que se aproximam de
. Se encontrarmos diferentes valores de limite para trajetórias diferentes, então o limite geral não existe.
Primeira trajetória: Vamos aproximar-nos de
pela linha
.
Substituindo
na função:
Então, ao longo dessa trajetória, o limite é
.
Passo 4
Segunda trajetória: Agora, vamos nos aproximar de
pela linha
.
Substituindo
na função:
Então, ao longo dessa trajetória, o limite é
.
Passo 5
Observamos que ao escolher diferentes trajetórias, os limites são diferentes:
por uma e
por outra. Isso indica que o limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos de
.
Resposta
Portanto, o limite
não existe porque assume valores diferentes dependendo da trajetória escolhida.