Encontrar a solução geral das seguintes equações de segunda ordem e determine se as soluções são fundamenntais. .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação e verificar se as soluções encontradas são fundamentais. Para resolver isso, vamos usar o método das equações de Cauchy-Euler, que é adequado para equações onde os coeficientes são polinômios de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação de Cauchy-Euler. Ela tem a forma geral:
Nesse tipo de equação, assumimos uma solução da forma , onde é um número que vamos descobrir. Isso nos ajuda a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica.
Passo 3
Vamos assumir que . Agora, precisamos calcular as derivadas de :
Passo 4
Substituindo , e na equação original:
Simplificando cada termo:
Então a equação fica:
Passo 5
Fatorando na equação:
Como nunca é zero para , podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver a equação quadrática :
Aqui, é a unidade imaginária, indicando que as raízes são complexas.
Passo 7
Quando as raízes são complexas, da forma , a solução geral da equação de Cauchy-Euler é:
No nosso caso, e , então a solução fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Essas soluções formam um conjunto fundamental, ou seja, são linearmente independentes e abrangem todas as soluções possíveis da equação dada.