Determine o valor de
de modo que as funções abaixo sejam contínuas.
(a)
(a)
Passo 1
Vamos analisar o exercício que pede para determinar o valor de
de modo que a função
seja contínua. A função está definida de forma diferente para o ponto
e para todos os outros pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade em funções de várias variáveis e como calcular limites bidimensionais.
Passo 2
Para que a função
seja contínua no ponto
, o limite da função quando
se aproxima de
deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos garantir que:
Portanto, nosso objetivo é calcular esse limite e encontrar o valor de
que o iguala.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. A função dada é:
Para facilitar o cálculo do limite, podemos usar coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na expressão da função:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Agora, ao calcular o limite quando
:
Isso porque o numerador contém um fator
que tende a zero, enquanto o denominador permanece limitado e não nulo. Portanto, o limite é 0.
Resposta
O valor de
que torna a função contínua é
.