Determine o valor de de modo que as funções abaixo sejam contínuas.
(a)
Passo 1
Vamos analisar o exercício que pede para determinar o valor de de modo que a função seja contínua. A função está definida de forma diferente para o ponto e para todos os outros pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade em funções de várias variáveis e como calcular limites bidimensionais.
Passo 2
Para que a função seja contínua no ponto , o limite da função quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos garantir que:
Portanto, nosso objetivo é calcular esse limite e encontrar o valor de que o iguala.
Passo 3
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de . A função dada é:
Para facilitar o cálculo do limite, podemos usar coordenadas polares, onde e . Substituindo na expressão da função:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Agora, ao calcular o limite quando :
Isso porque o numerador contém um fator que tende a zero, enquanto o denominador permanece limitado e não nulo. Portanto, o limite é 0.